Реши задачи по геометрии и тригонометрии из варианта №2

6. Дано: $\sin \alpha = 0.8$, $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Нужно найти $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\cot \alpha$. Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, то $\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$. Так как $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, то $\cos \alpha < 0$. Значит, $\cos \alpha = -\sqrt{1 - 0.8^2} = -\sqrt{1 - 0.64} = -\sqrt{0.36} = -0.6$. $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0.8}{-0.6} = -\frac{4}{3}$. $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{3}{4}$. **Ответ:** $\cos \alpha = -0.6$, $\tan \alpha = -\frac{4}{3}$, $\cot \alpha = -\frac{3}{4}$. 7. Вычислим значения выражений: a) $\sin 45^\circ + \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2}$. б) $2 \cos 90^\circ - \sin 180^\circ = 2 \cdot 0 - 0 = 0$. в) $2 \cos 45^\circ \cdot \sin 60^\circ \cdot \sin 0^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 = 0$. **Ответ:** a) $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$, б) 0, в) 0. 8. Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 45^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, $AB = 8$. Найти $AC$. По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$. $AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{8 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$. **Ответ:** $AC = 4\sqrt{2}$. 9. Дано: смежные стороны параллелограмма равны 7 см и 8 см, угол между ними 120°. Найти диагонали и площадь параллелограмма. Обозначим стороны параллелограмма как $a = 7$ см и $b = 8$ см, а угол между ними $\alpha = 120^\circ$. Диагонали параллелограмма можно найти по теореме косинусов: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ = 49 + 64 - 112 \cdot (-\frac{1}{2}) = 113 + 56 = 169$, значит $d_1 = \sqrt{169} = 13$ см. $d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos (180^\circ - \alpha) = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 49 + 64 - 112 \cdot \frac{1}{2} = 113 - 56 = 57$, значит $d_2 = \sqrt{57}$ см. Площадь параллелограмма можно найти по формуле: $S = ab \sin \alpha = 7 \cdot 8 \cdot \sin 120^\circ = 56 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 28\sqrt{3}$ см$^2$. **Ответ:** Диагонали: 13 см и $\sqrt{57}$ см, площадь: $28\sqrt{3}$ см$^2$. 10. Определим, какие утверждения верны: 11) Неверно. Синусы углов равны, если углы равны или составляют в сумме $180^\circ$. 12) Верно. $\cos 90^\circ = 0$. 13) Верно. Косинус острого угла всегда больше косинуса тупого угла, т.к. косинус острого угла положителен, а косинус тупого угла отрицателен. 14) Неверно. Сумма углов прямоугольного треугольника равна $180^\circ$. 15) Неверно. Вертикальные углы равны, а не в сумме дают $180^\circ$. **Ответ:** Верные утверждения: 12 и 13.