Найди EF, если BC = 10,6; найди BC, если EF = 4,2 на рисунке 514; найди Pabc на рисунке 515; найди MP на рисунке 516; найди BC, AC на рисунке 517; найди C.O., A.O. на рисунке 519.

1. a) Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle AEF$. $\angle A$ --- общий, $\angle AEF = \angle ABC$ как соответственные углы при $EF \parallel BC$ и секущей $AB$. Значит, $\triangle ABC \sim \triangle AEF$ по двум углам. $$\frac{AE}{AB} = \frac{EF}{BC}$$ Т.к. $AE = EB$, то $AE = \frac{1}{2} AB$. Подставим известные значения: $$\frac{1}{2} = \frac{EF}{10.6}$$ $$EF = \frac{1}{2} \cdot 10.6 = 5.3$$ b) Аналогично: $$\frac{1}{2} = \frac{4.2}{BC}$$ $$BC = 2 \cdot 4.2 = 8.4$$ **Ответ:** a) 5.3; б) 8.4 2. Т.к. $MN \parallel AC$ и $MK \parallel BC$, то $AMNK$ --- параллелограмм, значит, $P_{AMNK} = 2(AM + AK) = 2(6 + 5) = 2 \cdot 11 = 22$. **Ответ:** 22 3. Проведём высоту $BH$ в трапеции $ABCD$. Рассмотрим $\triangle ABH$ --- прямоугольный. $AH = AD - HD = AD - BC = 6 - 4 = 2$. Т.к. $AM = MB$, то $MP$ --- средняя линия $\triangle ABD$, значит $MP = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$. **Ответ:** 3 4. $\triangle AEK$ подобен $\triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{AE}{AB} = \frac{4}{4+6} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Тогда $BC = \frac{AC}{k} = AC \cdot \frac{5}{2} = 5 \cdot \frac{5}{2} = 12.5$. $AK$ - биссектриса, т.к. углы при основании равны. Тогда $AC = \frac{EK}{k} = 6 \cdot \frac{5}{2} = 15$. **Ответ:** BC = 12.5, AC = 15 5. Точка $O$ --- точка пересечения медиан $\triangle ABC$. $CO = \frac{2}{3} CC_1 = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$. $AO = \frac{2}{3} AA_1 = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$. **Ответ:** CO = 6, AO = 4