1) log_5(2x + 1) = 2log_5 x

Привет! Давай решим эти логарифмические уравнения по порядку. Не забывай про область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов. 1) $\log_5(2x + 1) = 2\log_5 x$ ОДЗ: $2x+1 > 0 \Rightarrow x > -0.5$ и $x > 0$. Значит $x > 0$. $\log_5(2x + 1) = \log_5(x^2)$ $2x + 1 = x^2$ $x^2 - 2x - 1 = 0$ $D = 4 - 4(1)(-1) = 8$ $x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$ Так как $x > 0$, берем $x = 1 + \sqrt{2}$. 2) $\log_5 x - \log_5(6 - x^2) = 0$ ОДЗ: $x > 0$ и $6 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 6 \Rightarrow x < \sqrt{6}$. Значит $0 < x < \sqrt{6}$. $\log_5 x = \log_5(6 - x^2)$ $x = 6 - x^2$ $x^2 + x - 6 = 0$ $(x+3)(x-2) = 0$ $x = -3$ (не подходит по ОДЗ) или $x = 2$. Ответ: $x = 2$. 3) $\log_4 \log_2 x = 0.5$ ОДЗ: $x > 0$ и $\log_2 x > 0 \Rightarrow x > 1$. $\log_2 x = 4^{0.5} = \sqrt{4} = 2$ $x = 2^2 = 4$. Ответ: $x = 4$. 4) $\log_5(x - 1) + \log_5(x - 2) = \log_5(x + 2)$ ОДЗ: $x > 1$, $x > 2$, $x > -2$. Значит $x > 2$. $\log_5((x - 1)(x - 2)) = \log_5(x + 2)$ $x^2 - 3x + 2 = x + 2$ $x^2 - 4x = 0$ $x(x - 4) = 0$ $x = 0$ (не подходит по ОДЗ) или $x = 4$. Ответ: $x = 4$. 5) $\lg(x^2 + 100x) - \lg(x + 4) = 2$ ОДЗ: $x^2 + 100x > 0$ и $x > -4$. Т.к. $x > -4$, то $x^2 + 100x$ при $x > 0$ всегда $>0$, при $x \in (-4; 0)$ тоже положительно. $\lg \frac{x^2 + 100x}{x + 4} = 2$ $\frac{x^2 + 100x}{x + 4} = 10^2 = 100$ $x^2 + 100x = 100(x + 4)$ $x^2 + 100x = 100x + 400$ $x^2 = 400$ $x = 20$ или $x = -20$. Так как $x > -4$, подходит только $x = 20$. Ответ: $x = 20$.