Докажи, что в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны и диагонали равны.

Привет! Давай докажем, что в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны и диагонали равны. **Доказательство равенства углов при основании** 1. **Дано:** Трапеция ABCD, где AB = CD (равнобедренная), AD и BC - основания. 2. **Доказать:** ∠BAD = ∠CDA и ∠ABC = ∠DCB *Доказательство:* 1. Проведём высоты BH и CF из вершин B и C к основанию AD. 2. Рассмотрим треугольники ABH и DCF. Они прямоугольные (так как BH и CF - высоты). 3. AB = CD (по условию, трапеция равнобедренная). 4. BH = CF (высоты между параллельными основаниями равны). 5. Следовательно, треугольники ABH и DCF равны по гипотенузе и катету (признак равенства прямоугольных треугольников). 6. Из равенства треугольников следует, что ∠BAH = ∠CDF. 7. Так как ∠BAD = ∠BAH и ∠CDA = ∠CDF, то ∠BAD = ∠CDA. Углы при большем основании равны. 8. Теперь докажем равенство углов при верхнем основании. Так как AD || BC, то ∠BAD + ∠ABC = 180° и ∠CDA + ∠DCB = 180° (как односторонние углы при параллельных прямых). 9. Поскольку ∠BAD = ∠CDA, то и ∠ABC = ∠DCB. Углы при меньшем основании тоже равны. **Доказательство равенства диагоналей** 1. **Доказать:** AC = BD *Доказательство:* 1. Рассмотрим треугольники ABD и DCA. 2. AD – общая сторона. 3. AB = DC (боковые стороны равнобедренной трапеции). 4. ∠BAD = ∠CDA (доказано выше). 5. Следовательно, треугольники ABD и DCA равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). 6. Из равенства треугольников следует, что AC = BD. Диагонали равны. **Вывод:** В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, и диагонали равны. Что и требовалось доказать!