Доказать тождество: 1) (1 - cos α) (1 + cos α) = sin^2 α; 2) (1 - sin α) (1 + sin α) = cos^2 α; 3) sin^2 α / (1 - sin^2 α) = tg^2 α; 4) cos^2 α / (1 - cos^2 α) = ctg^2 α;

Для доказательства тождеств будем использовать основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, откуда следует $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$ и $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$. 1) $(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$ Разность квадратов слева: $1^2 - \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$. По основному тождеству: $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$. Тождество доказано. 2) $(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = \cos^2 \alpha$ Разность квадратов слева: $1^2 - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$. По основному тождеству: $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Тождество доказано. 3) $\frac{\sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = \tan^2 \alpha$ Знаменатель $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Получаем дробь: $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = \tan^2 \alpha$. Тождество доказано. 4) $\frac{\cos^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} = \cot^2 \alpha$ Знаменатель $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$. Получаем дробь: $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 = \cot^2 \alpha$. Тождество доказано.