Реши задачи контрольной работы по теме "Неравенства и их системы".

Конечно, помогу! Давай решим эти задания. 1. Доказать, что при любом значении переменной верно неравенство: $(a+3)(a+1) > a(a+4)$. Раскроем скобки в обеих частях неравенства: $a^2 + 4a + 3 > a^2 + 4a$ Вычтем из обеих частей $a^2 + 4a$: $3 > 0$ Так как 3 всегда больше 0, то неравенство верно при любом значении переменной $a$. 2. Доказать неравенство: $2a^2 - 8a + 16 > 0$. Вынесем 2 за скобки: $2(a^2 - 4a + 8) > 0$. Рассмотрим выражение в скобках: $a^2 - 4a + 8$. Выделим полный квадрат: $a^2 - 4a + 4 + 4 = (a - 2)^2 + 4$. Так как $(a - 2)^2$ всегда неотрицательно, а к нему прибавляется 4, то $(a - 2)^2 + 4$ всегда больше 0. Следовательно, $2(a^2 - 4a + 8) > 0$ при любом значении $a$. 3. Дано $a < b$. Сравнить: 1) $a - 6$ и $b$. Так как $a < b$, то $a - 6 < b - 6$. Но нам нужно сравнить $a - 6$ и $b$, а не $b-6$. Здесь нельзя однозначно сказать, что больше. Например, если $a = 0$ и $b = 7$, то $a - 6 = -6 < 7 = b$. Но если $a = 0$ и $b = 5$, то $a - 6 = -6 < b = 5$. Для сравнения не хватает данных. 2) $a$ и $b + 6$. Так как $a < b$, то $a < b + 6$. Это верно, потому что мы прибавляем положительное число к большей переменной. 4. Дано $4 < a < 8$ и $2 < b < 10$. Оцените значение выражения: 1) $a + b$ Сложим минимальные и максимальные значения $a$ и $b$: $4 + 2 < a + b < 8 + 10$ $6 < a + b < 18$ 2) $a - b$ Вычтем из минимального значения $a$ максимальное значение $b$, и из максимального значения $a$ минимальное значение $b$: $4 - 10 < a - b < 8 - 2$ $-6 < a - b < 6$ 5. Решите неравенство: $\frac{2}{x^2} + 2 > 0$. Умножим обе части на $x^2$ (предполагаем, что $x \neq 0$): $2 + 2x^2 > 0$ $2x^2 > -2$ $x^2 > -1$ Так как $x^2$ всегда неотрицательно, это неравенство верно для всех $x$, кроме $x = 0$ (потому что на ноль делить нельзя). 6. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой: a) $3x - 4 < 5$; $3x < 9$ $x < 3$ б) $-3x < \frac{6}{7}$ Разделим обе части на -3 (знак неравенства меняется): $x > -\frac{2}{7}$ 7. Решите системы неравенств: a) $\begin{cases} 7 - 3x \geq 2x - 3, \\ 10x - 1 \geq 3 \end{cases}$ Решим первое неравенство: $7 - 3x \geq 2x - 3$ $10 \geq 5x$ $x \leq 2$ Решим второе неравенство: $10x - 1 \geq 3$ $10x \geq 4$ $x \geq 0.4$ Объединим решения: $0.4 \leq x \leq 2$ б) $\begin{cases} \frac{6x+1}{6} - \frac{5x-1}{5} > -1, \\ 2(x+8) - 3(x+2) < 5 - x \end{cases}$ Решим первое неравенство: $\frac{6x+1}{6} - \frac{5x-1}{5} > -1$ Умножим обе части на 30: $5(6x+1) - 6(5x-1) > -30$ $30x + 5 - 30x + 6 > -30$ $11 > -30$ (всегда верно) Решим второе неравенство: $2(x+8) - 3(x+2) < 5 - x$ $2x + 16 - 3x - 6 < 5 - x$ $-x + 10 < 5 - x$ $10 < 5$ (никогда не верно) Так как второе неравенство не имеет решений, то и вся система не имеет решений. в) $\begin{cases} -x < 2 \\ 2x > 7 \\ x < -4 \end{cases}$ Решим первое неравенство: $-x < 2$ $x > -2$ Решим второе неравенство: $2x > 7$ $x > 3.5$ Решим третье неравенство: $x < -4$ Теперь посмотрим на все три условия: $x > -2$, $x > 3.5$ и $x < -4$. Нет таких чисел, которые одновременно больше -2, больше 3.5 и меньше -4. Значит, система не имеет решений.