Реши задачи по геометрии, объясняя каждое действие.

Привет! Давай решим эти задачи по геометрии. 1. Найдём третью сторону треугольника, используя теорему косинусов. Пусть $a = 5$ см, $b = 16$ см, и угол между ними $\gamma = 120^\circ$. Тогда третья сторона $c$ равна: $$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)}$$ $$c = \sqrt{5^2 + 16^2 - 2 \cdot 5 \cdot 16 \cdot \cos(120^\circ)}$$ Так как $\cos(120^\circ) = -0.5$: $$c = \sqrt{25 + 256 - 160 \cdot (-0.5)} = \sqrt{281 + 80} = \sqrt{361} = 19$$ **Ответ: 19 см** 2. Найдём площадь и большую диагональ параллелограмма. Пусть $a = 7\sqrt{2}$ см, $b = 17$ см, и угол между ними $\alpha = 45^\circ$. Площадь параллелограмма $S$ равна: $$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$$ $$S = 7\sqrt{2} \cdot 17 \cdot \sin(45^\circ) = 7\sqrt{2} \cdot 17 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7 \cdot 17 = 119$$ Площадь параллелограмма равна 119 кв. см. Теперь найдем большую диагональ $d$. Сначала найдем квадрат диагонали $d^2$ по теореме косинусов: $$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha)$$ $$d^2 = (7\sqrt{2})^2 + 17^2 - 2 \cdot 7\sqrt{2} \cdot 17 \cdot \cos(45^\circ) = 98 + 289 - 2 \cdot 7\sqrt{2} \cdot 17 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 387 - 238 = 149$$ Большая диагональ $d = \sqrt{149} \approx 12.21$ см. **Ответ: Площадь = 119 кв. см, большая диагональ = $\sqrt{149}$ см** 3. Решим треугольник $ABC$, если $BC = 10\sqrt{3}$ см, $AB = 20$ см, $\angle B = 30^\circ$. Используем теорему синусов для нахождения угла $C$: $$\frac{AB}{\sin(C)} = \frac{BC}{\sin(B)}$$ $$\frac{20}{\sin(C)} = \frac{10\sqrt{3}}{\sin(30^\circ)}$$ $$\sin(C) = \frac{20 \cdot \sin(30^\circ)}{10\sqrt{3}} = \frac{20 \cdot 0.5}{10\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Угол $C = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{3}) \approx 35.26^\circ$. Теперь найдем угол $A$: $$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 35.26^\circ \approx 114.74^\circ$$ Используем теорему синусов для нахождения стороны $AC$: $$\frac{AC}{\sin(B)} = \frac{AB}{\sin(C)}$$ $$AC = \frac{AB \cdot \sin(B)}{\sin(C)} = \frac{20 \cdot \sin(114.74^\circ)}{\sin(35.26^\circ)} \approx \frac{20 \cdot 0.907}{0.577} \approx 31.44$$ **Ответ: $\angle C \approx 35.26^\circ$, $\angle A \approx 114.74^\circ$, $AC \approx 31.44$ см**