Найди корни уравнения \frac{16}{x^2 + x} - \frac{6}{x^2 - x} = \frac{1}{x}

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Уравнение из картинки выглядит так: $$\frac{16}{x^2 + x} - \frac{6}{x^2 - x} = \frac{1}{x}$$ Решение: 1. **Приведем к общему знаменателю:** Общий знаменатель будет $x(x+1)(x-1)$. Домножаем числители: $$\frac{16(x-1)}{x(x+1)(x-1)} - \frac{6(x+1)}{x(x+1)(x-1)} = \frac{(x+1)(x-1)}{x(x+1)(x-1)}$$ 2. **Упростим числители:** $$16(x-1) - 6(x+1) = (x+1)(x-1)$$ $$16x - 16 - 6x - 6 = x^2 - 1$$ 3. **Перенесем все в одну сторону:** $$x^2 - 1 - 16x + 16 + 6x + 6 = 0$$ $$x^2 - 10x + 21 = 0$$ 4. **Решим квадратное уравнение:** Используем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16$ Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{16}}{2} = \frac{10 + 4}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{16}}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3$$ 5. **Проверим ОДЗ (область допустимых значений):** Исходное уравнение имеет $x$ в знаменателе, поэтому $x \neq 0$. Также, $x^2 + x \neq 0$ и $x^2 - x \neq 0$, то есть $x \neq -1$ и $x \neq 1$. Оба корня ($x=7$ и $x=3$) удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: Корни уравнения: $x_1 = 7$, $x_2 = 3$**