Начерти два неколлинеарных вектора а и b и построй векторы, равные а) 1/2*a+3b; б) 2b-a; вырази векторы AO, AK, KD через векторы a = AB и b = AD; найди среднюю линию трапеции, если в равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 см и 12 см; вырази вектор AO через векторы a = AB и b = AC в треугольнике ABC, где точка O – точка пересечения медиан.

1. Чтобы начертить два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно изобразить два вектора, которые не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. * Чтобы построить вектор $\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}$, нужно сначала построить вектор $\frac{1}{2}\vec{a}$, который будет в два раза короче вектора $\vec{a}$ и сонаправлен с ним. Затем построить вектор $3\vec{b}$, который будет в три раза длиннее вектора $\vec{b}$ и сонаправлен с ним. Далее сложить эти два вектора по правилу параллелограмма или треугольника. * Чтобы построить вектор $2\vec{b} - \vec{a}$, нужно сначала построить вектор $2\vec{b}$, который будет в два раза длиннее вектора $\vec{b}$ и сонаправлен с ним. Затем построить вектор $-\vec{a}$, который будет противоположен вектору $\vec{a}$. Далее сложить эти два вектора по правилу параллелограмма или треугольника. 2. Так как $BK = KC$, то $K$ – середина $BC$. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов и точкой пересечения делятся пополам, а также диагонали перпендикулярны. Тогда: * $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$ * $\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$ * $\vec{KD} = \vec{AD} - \vec{AK} = \vec{b} - (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$ 3. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки 5 см и 12 см. Тогда большее основание равно $5 + 12 + 5 = 22$ см. Меньшее основание равно 12 см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть $\frac{22 + 12}{2} = 17$ см. **Ответ: 17 см** 4. В треугольнике $ABC$ точка $O$ – точка пересечения медиан. Выразите вектор $\vec{AO}$ через векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AC}$. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, $AO = \frac{2}{3}AM$, где $AM$ – медиана. Выразим медиану $AM$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$ Тогда $\vec{AO} = \frac{2}{3} \vec{AM} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b})$ **Ответ:** $\vec{AO} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b})$