Докажи, что \angle OMP = \angle OPM; найди \angle NOM, если \angle МОР = 105°.

a) Докажем, что $\angle OMP = \angle OPM$. Рассмотрим треугольники $MNO$ и $PQO$. У них: 1. $MN = PQ$ (по условию). 2. $\angle MNO = \angle PQO = 90^\circ$ (так как $MN$ и $PQ$ - перпендикуляры). 3. $NO = OQ$ (так как $O$ - середина $NQ$). Значит, $\triangle MNO = \triangle PQO$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что $MO = PO$. Значит, треугольник $MOP$ - равнобедренный с основанием $MP$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle OMP = \angle OPM$. б) Найдем $\angle NOM$, если $\angle MOP = 105^\circ$. Так как $\triangle MNO = \triangle PQO$, то $\angle NOM = \angle QOP$. Пусть $\angle NOM = x$, тогда $\angle QOP = x$. Сумма углов $\angle NOM$, $\angle MOP$ и $\angle QOP$ равна $180^\circ$ (так как это развернутый угол). Получаем уравнение: $x + 105^\circ + x = 180^\circ$ $2x = 180^\circ - 105^\circ$ $2x = 75^\circ$ $x = 37.5^\circ$ **Ответ:** $\angle NOM = 37.5^\circ$