Докажи, что четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$, вершинами которого являются середины отрезков $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ — параллелограмм. Докажи, что четырёхугольник $APCQ$ — параллелограмм.

Question

Вопрос:

Докажи, что четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$, вершинами которого являются середины отрезков $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ — параллелограмм. Докажи, что четырёхугольник $APCQ$ — параллелограмм.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

482. Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ — середины отрезков $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ соответственно. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $OA = OC$ и $OB = OD$. Значит, $OA_1 = OC_1$ и $OB_1 = OD_1$. Так как диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$ четырёхугольника $A_1B_1C_1D_1$ точкой пересечения делятся пополам, то $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм. 483. Пусть $ABCD$ — параллелограмм и на диагонали $BD$ отмечены точки $P$ и $Q$ такие, что $PB = QD$. Нужно доказать, что $APCQ$ — параллелограмм. $$\begin{aligned} &\angle PBC = \angle QDA \text{ как внутренние накрест лежащие при } BC \parallel AD \text{ и секущей } BD, \\ &BC = AD \text{ как противоположные стороны параллелограмма}.\\ &\triangle PBC = \triangle QDA \text{ по двум сторонам и углу между ними}.\\ &PC = QA \text{ как соответственные стороны равных треугольников}.\\ &\angle BCP = \angle DAQ \text{ как соответственные углы равных треугольников}. \end{aligned}$$ Тогда $\angle PCA = \angle QAC$ как накрест лежащие, а это значит, что $PC \parallel AQ$. Так как $PC = QA$ и $PC \parallel AQ$, то $APCQ$ — параллелограмм.

Ответ ассистента

Другие решения