Вычисли, упрости выражения и найди значения выражений.

Привет! Давай решим эти задания по порядку. 1. Вычислите: a) $2\sqrt[4]{81} = 2 \cdot 3 = 6$ б) $3\sqrt[5]{32} - \sqrt{-27}$ - Тут ошибка, корень пятой степени из 32 это 2, а корень из отрицательного числа не извлекается в школьной программе. Возможно, имелось в виду $-\sqrt[3]{-27}$, тогда решение такое: $3 \cdot 2 - (-3) = 6 + 3 = 9$ в) $\sqrt[4]{3} \cdot 2^3 \cdot \sqrt[4]{3^3} \cdot 2 = \sqrt[4]{3 \cdot 3^3} \cdot 2^3 \cdot 2 = \sqrt[4]{3^4} \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$ г) $\sqrt[10]{-\frac{2}{27}}$ - Здесь тоже ошибка, корень четной степени из отрицательного числа не извлекается. Вероятно, имелось в виду $\sqrt[9]{-\frac{2}{27}}$ 2. Вычислите: a) $49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7$ б) $1000^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{1000} = 10$ в) $32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{2}{5}} = 2^2 = 4$ г) $(\frac{3}{5})^{-1} = \frac{5}{3}$ д) $\frac{3^4 \cdot 3^{-9}}{3^{-12}} = \frac{3^{4-9}}{3^{-12}} = \frac{3^{-5}}{3^{-12}} = 3^{-5 - (-12)} = 3^{-5+12} = 3^7 = 2187$ e) $(\frac{1}{16} \cdot 81)^{-\frac{1}{4}} = (\frac{1}{2^4} \cdot 3^4)^{-\frac{1}{4}} = (\frac{3^4}{2^4})^{-\frac{1}{4}} = ((\frac{3}{2})^4)^{-\frac{1}{4}} = (\frac{3}{2})^{-1} = \frac{2}{3}$ 3. Упростите выражение: a) $a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{5}{2}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{5}{2}} = a^{\frac{6}{2}} = a^3$ б) $a^3 : \sqrt[3]{a^2} = a^3 : a^{\frac{2}{3}} = a^{3 - \frac{2}{3}} = a^{\frac{9}{3} - \frac{2}{3}} = a^{\frac{7}{3}}$ в) $\sqrt[4]{a^3} \cdot a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{4}{4}} = a$ г) $(a^{-3})^{\frac{1}{3}} = a^{-3 \cdot \frac{1}{3}} = a^{-1} = \frac{1}{a}$ 4. Найдите значение выражения: \(\sqrt[4]{81a^4} + \sqrt[3]{27a^3} - \sqrt{16a^2}\) при \(a = -\frac{1}{8}\) $\sqrt[4]{81a^4} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{a^4} = 3|a| = 3 \cdot |-\frac{1}{8}| = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ $\sqrt[3]{27a^3} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{a^3} = 3a = 3 \cdot (-\frac{1}{8}) = -\frac{3}{8}$ $\sqrt{16a^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a^2} = 4|a| = 4 \cdot |-\frac{1}{8}| = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ Тогда: $\frac{3}{8} + (-\frac{3}{8}) - \frac{1}{2} = \frac{3}{8} - \frac{3}{8} - \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$ 5. Упростите выражение: a) $\frac{b^{0.5}+1}{b^{1.5}-b} - \frac{b-1}{b^{0.5}} = \frac{b^{0.5}+1}{b(b^{0.5}-1)} - \frac{b-1}{b^{0.5}} = \frac{b^{0.5}+1}{b(b^{0.5}-1)} - \frac{(b-1)b^{0.5}}{b \cdot b^{0.5}} = \frac{b^{0.5}+1 - (b-1)b^{0.5}}{b \cdot b^{0.5}} = \frac{b^{0.5}+1 - b^{1.5}+b^{0.5}}{b^{1.5}} = \frac{2b^{0.5}+1 - b^{1.5}}{b^{1.5}}$ б) $\frac{a+b}{a^3-\frac{2}{3}a^3b^3+b^3} - \sqrt[3]{b}$ - Тут ошибка в условии, потому что степень не может быть дробью. Вероятно, имелось в виду $\frac{a+b}{a^2-a \cdot b + b^2} - \sqrt[3]{b}$. В этом случае решение такое: $\frac{a+b}{a^2-ab+b^2} - \sqrt[3]{b} = \frac{a+b}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} - \sqrt[3]{b} = a+b - \sqrt[3]{b}$ Надеюсь, это поможет тебе в учёбе!