Помоги решить задачи 1-16 из варианта 2

Задача 1. В 2008 году в квартале жило 40000 человек. В 2009 население выросло на 8%, а в 2010 -- еще на 9% по сравнению с 2009. Считаем, сколько стало жителей в 2010. * В 2009 году: $40000 + 40000 \cdot 0.08 = 40000 + 3200 = 43200$ человек. * В 2010 году: $43200 + 43200 \cdot 0.09 = 43200 + 3888 = 47088$ человек. **Ответ: 47088** Задача 2. Предположим, акция стоила Х рублей. В понедельник цена поднялась на Y процентов, а во вторник упала на Y процентов. В итоге цена стала на 4% меньше, чем в начале. * После подорожания в понедельник цена стала $X + X \cdot \frac{Y}{100} = X(1 + \frac{Y}{100})$. * После падения во вторник цена стала $X(1 + \frac{Y}{100}) - X(1 + \frac{Y}{100}) \cdot \frac{Y}{100} = X(1 + \frac{Y}{100})(1 - \frac{Y}{100}) = X(1 - (\frac{Y}{100})^2)$. * По условию, новая цена на 4% меньше исходной: $X(1 - (\frac{Y}{100})^2) = 0.96X$. Разделим обе части на X: $1 - (\frac{Y}{100})^2 = 0.96$. $(\frac{Y}{100})^2 = 0.04$. $\frac{Y}{100} = \sqrt{0.04} = 0.2$. $Y = 0.2 \cdot 100 = 20$. **Ответ: 20 процентов** Задача 3. 4 рубашки стоят на 8% дешевле куртки. Определим, на сколько процентов 5 таких рубашек дороже куртки. Допущение: возьмем цену куртки за 100% * Если 4 рубашки на 8% дешевле, то они стоят 92% от цены куртки. * Одна рубашка стоит $\frac{92}{4} = 23$% от цены куртки. * Тогда 5 рубашек стоят $5 \cdot 23 = 115$% от цены куртки. Значит, 5 рубашек на 15% дороже куртки. **Ответ: 15 процентов** Задача 4. Зарплата мужа увеличилась вдвое, и общий доход семьи вырос на 67%. Если бы стипендия уменьшилась в три раза, общий доход семьи сократился бы на 4%. Считаем, сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены. Обозначим: $S_м$ - зарплата мужа, $S_ж$ - зарплата жены, $C$ - стипендия дочери. Тогда общий доход семьи: $S_м + S_ж + C = 100$%. По условию, если зарплата мужа удвоится, то общий доход вырастет на 67%: $2S_м + S_ж + C = 167$%. А если стипендия уменьшится втрое, то общий доход сократится на 4%: $S_м + S_ж + \frac{1}{3}C = 96$%. Получаем систему уравнений: $$\begin{cases} S_м + S_ж + C = 100 \\ 2S_м + S_ж + C = 167 \\ S_м + S_ж + \frac{1}{3}C = 96 \end{cases}$$ Вычтем из второго уравнения первое: $S_м = 67$%. Вычтем из первого уравнения третье: $\frac{2}{3}C = 4$, откуда $C = 6$%. Подставим значения $S_м$ и $C$ в первое уравнение: $67 + S_ж + 6 = 100$. Тогда $S_ж = 100 - 67 - 6 = 27$%. **Ответ: 27 процентов** Задача 5. Цена холодильника уменьшается каждый год на один и тот же процент. Холодильник, который стоил 20000 рублей, через 2 года продали за 15842 рубля. Считаем, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена. Пусть цена уменьшается на $x$ процентов каждый год. Тогда через год цена станет $20000 \cdot (1 - \frac{x}{100})$, а еще через год $20000 \cdot (1 - \frac{x}{100})^2$. Получаем уравнение: $20000 \cdot (1 - \frac{x}{100})^2 = 15842$. Разделим обе части на 20000: $(1 - \frac{x}{100})^2 = 0.7921$. Извлечем квадратный корень из обеих частей: $1 - \frac{x}{100} = 0.89$. $\frac{x}{100} = 1 - 0.89 = 0.11$. $x = 0.11 \cdot 100 = 11$. **Ответ: 11 процентов** Задача 6. Митя, Антон, Гоша и Борис основали компанию с капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% (28000 рублей), Антон - 42000 рублей, Гоша - 0,12 (24000 рублей). Остальное внес Борис. Прибыль делят пропорционально вкладу. Нужно узнать, сколько из прибыли в 1000000 рублей получит Борис. Рассчитаем долю каждого участника: * Митя: 14% от 200000 = 28000 рублей. * Антон: 42000 рублей. * Гоша: 0,12 * 200000 = 24000 рублей. * Борис: 200000 - 28000 - 42000 - 24000 = 106000 рублей. Определим долю Бориса в капитале: $\frac{106000}{200000} = 0,53$ или 53%. Следовательно, Борис получит 53% от прибыли: $1000000 \cdot 0,53 = 530000$ рублей. **Ответ: 530000 рублей** Задача 7. В сосуде 5 литров 12-процентного раствора. Добавили 7 литров воды. Считаем концентрацию нового раствора. * В 5 литрах 12-процентного раствора содержится $5 \cdot 0,12 = 0,6$ литра вещества. * После добавления воды общий объем стал $5 + 7 = 12$ литров. * Концентрация нового раствора: $\frac{0,6}{12} = 0,05$ или 5%. **Ответ: 5 процентов** Задача 8. Смешали равное количество 15-процентного и 19-процентного растворов. Считаем концентрацию смеси. Допущение: Смешали по 1 литру раствора. * В 1 литре 15-процентного раствора содержится 0,15 литра вещества. * В 1 литре 19-процентного раствора содержится 0,19 литра вещества. * Всего вещества: $0,15 + 0,19 = 0,34$ литра. * Общий объем: $1 + 1 = 2$ литра. * Концентрация смеси: $\frac{0,34}{2} = 0,17$ или 17%. **Ответ: 17 процентов** Задача 9. Смешали 4 литра 15-процентного и 6 литров 25-процентного растворов. Считаем концентрацию смеси. * В 4 литрах 15-процентного раствора содержится $4 \cdot 0,15 = 0,6$ литра вещества. * В 6 литрах 25-процентного раствора содержится $6 \cdot 0,25 = 1,5$ литра вещества. * Всего вещества: $0,6 + 1,5 = 2,1$ литра. * Общий объем: $4 + 6 = 10$ литров. * Концентрация смеси: $\frac{2,1}{10} = 0,21$ или 21%. **Ответ: 21 процент** Задача 10. Изюм получается из винограда. Виноград содержит 90% воды, а изюм - 5%. Нужно получить 20 кг изюма. Считаем, сколько нужно винограда. * В 20 кг изюма содержится $20 \cdot 0,05 = 1$ кг сухого вещества. * В винограде 10% сухого вещества. Пусть нужно $x$ кг винограда. * Тогда $x \cdot 0,1 = 1$. $x = \frac{1}{0,1} = 10$ кг. **Ответ: 10 килограммов** Задача 11. Есть два сплава: в первом 10% никеля, во втором 30%. Из них сделали 200 кг сплава с 25% никеля. На сколько килограммов первый сплав меньше второго? Пусть $x$ кг - масса первого сплава, тогда $(200 - x)$ кг - масса второго сплава. * В первом сплаве $0,1x$ кг никеля. * Во втором сплаве $0,3(200 - x)$ кг никеля. * В новом сплаве $200 \cdot 0,25 = 50$ кг никеля. Получаем уравнение: $0,1x + 0,3(200 - x) = 50$. $0,1x + 60 - 0,3x = 50$. $-0,2x = -10$. $x = 50$ кг - масса первого сплава. Тогда масса второго сплава $200 - 50 = 150$ кг. Разница: $150 - 50 = 100$ кг. **Ответ: на 100 килограммов** Задача 12. Первый сплав содержит 10% меди, второй - 40% меди. Масса второго больше массы первого на 3 кг. Получили третий сплав, содержащий 30% меди. Считаем массу третьего сплава. Пусть $x$ кг - масса первого сплава, тогда $(x + 3)$ кг - масса второго сплава. * В первом сплаве $0,1x$ кг меди. * Во втором сплаве $0,4(x + 3)$ кг меди. * В новом сплаве $0,1x + 0,4(x + 3) = 0,1x + 0,4x + 1,2 = 0,5x + 1,2$ кг меди. Масса третьего сплава $x + (x + 3) = 2x + 3$ кг. Получаем уравнение: $\frac{0,5x + 1,2}{2x + 3} = 0,3$. $0,5x + 1,2 = 0,6x + 0,9$. $0,1x = 0,3$. $x = 3$ кг - масса первого сплава. Тогда масса второго сплава $3 + 3 = 6$ кг. Масса третьего сплава $3 + 6 = 9$ кг. **Ответ: 9 килограммов** Задача 13. Смешали 30% и 60% растворы кислоты и добавили 10 кг воды, получился 36% раствор. Если бы вместо воды добавили 10 кг 50% раствора, получился бы 41% раствор. Считаем, сколько килограммов 30% раствора использовали. Пусть $x$ кг - масса 30% раствора, $y$ кг - масса 60% раствора. Тогда: * Кислоты в первом растворе: $0,3x$ кг. * Кислоты во втором растворе: $0,6y$ кг. В первом случае: * Общая масса: $x + y + 10$ кг. * Кислоты: $0,3x + 0,6y$ кг. * Концентрация: $\frac{0,3x + 0,6y}{x + y + 10} = 0,36$. Во втором случае: * Общая масса: $x + y + 10$ кг. * Кислоты: $0,3x + 0,6y + 0,5 \cdot 10 = 0,3x + 0,6y + 5$ кг. * Концентрация: $\frac{0,3x + 0,6y + 5}{x + y + 10} = 0,41$. Получаем систему уравнений: $$\begin{cases} 0,3x + 0,6y = 0,36(x + y + 10) \\ 0,3x + 0,6y + 5 = 0,41(x + y + 10) \end{cases}$$ $$\begin{cases} 0,3x + 0,6y = 0,36x + 0,36y + 3,6 \\ 0,3x + 0,6y + 5 = 0,41x + 0,41y + 4,1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} -0,06x + 0,24y = 3,6 \\ -0,11x + 0,19y = -0,9 \end{cases}$$ Умножим первое уравнение на 11, второе на -6: $$\begin{cases} -0,66x + 2,64y = 39,6 \\ 0,66x - 1,14y = 5,4 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $1,5y = 45$, значит $y = 30$ кг. Подставим $y$ в первое уравнение: $-0,06x + 0,24 \cdot 30 = 3,6$. $-0,06x + 7,2 = 3,6$. $-0,06x = -3,6$. $x = 60$ кг. **Ответ: 60 килограммов** Задача 14. Есть два сосуда: в первом 30 кг раствора, во втором 20 кг. Смешали - получили 68% раствор. Смешали равные массы - получили 70% раствор. Сколько кислоты в первом сосуде? Пусть $x$ - концентрация кислоты в первом сосуде, $y$ - концентрация кислоты во втором сосуде. Тогда: * В первом сосуде $30x$ кг кислоты. * Во втором сосуде $20y$ кг кислоты. В первом случае: * Общая масса: $30 + 20 = 50$ кг. * Кислоты: $30x + 20y$ кг. * Концентрация: $\frac{30x + 20y}{50} = 0,68$. Во втором случае: * Смешали по $m$ кг. * Кислоты в первом сосуде: $mx$ кг. * Кислоты во втором сосуде: $my$ кг. * Общая масса: $2m$ кг. * Концентрация: $\frac{mx + my}{2m} = 0,7$. Получаем систему уравнений: $$\begin{cases} \frac{30x + 20y}{50} = 0,68 \\ \frac{mx + my}{2m} = 0,7 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 30x + 20y = 34 \\ x + y = 1,4 \end{cases}$$ Умножим второе уравнение на -20: $$\begin{cases} 30x + 20y = 34 \\ -20x - 20y = -28 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $10x = 6$, значит $x = 0,6$. Тогда в первом сосуде $30 \cdot 0,6 = 18$ кг кислоты. **Ответ: 18 килограммов** Задача 15. Клиент А положил в банк 7700 рублей. Через год клиент Б положил такую же сумму под тот же процент. Через два года они закрыли вклады и А получил на 847 рублей больше. Какой процент годовых? Пусть $x$ - годовой процент в долях. Тогда через год у клиента А будет $7700 \cdot (1 + x)$ рублей. А клиент Б только положит 7700 рублей. Еще через год у клиента А будет $7700 \cdot (1 + x)^2$ рублей, а у клиента Б $7700 \cdot (1 + x)$ рублей. По условию, $7700 \cdot (1 + x)^2 - 7700 \cdot (1 + x) = 847$. Разделим на 7700: $(1 + x)^2 - (1 + x) = \frac{847}{7700} = 0,11$. $(1 + x)(1 + x - 1) = 0,11$. $(1 + x)x = 0,11$. $x^2 + x - 0,11 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0,11) = 1 + 0,44 = 1,44$. $x = \frac{-1 + \sqrt{1,44}}{2} = \frac{-1 + 1,2}{2} = \frac{0,2}{2} = 0,1$. Значит, процент 10%. **Ответ: 10 процентов** Задача 16. Есть два сплава: в первом 15% никеля, во втором 35%. Из них сделали 140 кг сплава с 30% никеля. На сколько килограммов первый сплав меньше второго? Пусть $x$ кг - масса первого сплава, тогда $(140 - x)$ кг - масса второго сплава. * В первом сплаве $0,15x$ кг никеля. * Во втором сплаве $0,35(140 - x)$ кг никеля. * В новом сплаве $140 \cdot 0,3 = 42$ кг никеля. Получаем уравнение: $0,15x + 0,35(140 - x) = 42$. $0,15x + 49 - 0,35x = 42$. $-0,2x = -7$. $x = 35$ кг - масса первого сплава. Тогда масса второго сплава $140 - 35 = 105$ кг. Разница: $105 - 35 = 70$ кг. **Ответ: на 70 килограммов**