Мне нужно найти область определения алгебраических дробей и выполнить указанные действия в заданиях 2.4 - 2.9.

Конечно, я помогу тебе разобраться с этими заданиями! Тут нужно найти область определения алгебраических дробей и выполнить действия. Это значит, что нужно посмотреть, при каких значениях переменных дроби не теряют смысл (знаменатель не равен нулю), а затем упростить выражения. 2. 4 a) $\frac{2m}{m-n} + \frac{2n}{n-m} = \frac{2m}{m-n} - \frac{2n}{m-n} = \frac{2m - 2n}{m-n} = \frac{2(m-n)}{m-n} = 2$. Область определения: $m \neq n$. 3. 4 б) $\frac{2y}{y+3} + \frac{y-3}{-y-3} = \frac{2y}{y+3} - \frac{y-3}{y+3} = \frac{2y - (y-3)}{y+3} = \frac{2y - y + 3}{y+3} = \frac{y+3}{y+3} = 1$. Область определения: $y \neq -3$. 4. 5 a) $\frac{a^2-3}{a(a-3)} - \frac{6}{a(a-3)} = \frac{a^2 - 3 - 6}{a(a-3)} = \frac{a^2 - 9}{a(a-3)} = \frac{(a-3)(a+3)}{a(a-3)} = \frac{a+3}{a}$. Область определения: $a \neq 0$ и $a \neq 3$. 5. 5 б) $\frac{x^2+1}{xy-y^2} + \frac{y^2+1}{y^2-xy} = \frac{x^2+1}{y(x-y)} - \frac{y^2+1}{y(x-y)} = \frac{x^2 + 1 - (y^2 + 1)}{y(x-y)} = \frac{x^2 - y^2}{y(x-y)} = \frac{(x-y)(x+y)}{y(x-y)} = \frac{x+y}{y}$. Область определения: $y \neq 0$ и $x \neq y$. 6. 6 a) $\frac{100}{3x-10} - \frac{9x^2}{3x-10} = \frac{100 - 9x^2}{3x-10} = \frac{(10-3x)(10+3x)}{3x-10} = -\frac{(3x-10)(3x+10)}{3x-10} = -(3x+10)$. Область определения: $x \neq \frac{10}{3}$. 7. 6 б) $\frac{2z}{9-z^2} - \frac{6}{9-z^2} = \frac{2z - 6}{9-z^2} = \frac{2(z-3)}{(3-z)(3+z)} = -\frac{2(3-z)}{(3-z)(3+z)} = -\frac{2}{3+z}$. Область определения: $z \neq 3$ и $z \neq -3$. 8. 7 a) $\frac{z^2}{(z+8)^2} - \frac{64}{(z+8)^2} = \frac{z^2 - 64}{(z+8)^2} = \frac{(z-8)(z+8)}{(z+8)^2} = \frac{z-8}{z+8}$. Область определения: $z \neq -8$. 9. 7 б) Тут нужно упростить выражение $\frac{a^3}{(9x-a)^2} - \frac{81x^2}{(a-9x)^2}$. Заметим, что $(a-9x)^2 = (9x-a)^2$, поэтому $\frac{a^3}{(9x-a)^2} - \frac{81x^3}{(a-9x)^2} = \frac{a^3 - 81x^3}{(9x-a)^2} = \frac{(a-9x)(a^2 + 9ax + 81x^2)}{(9x-a)^2} = \frac{a^2 + 9ax + 81x^2}{9x-a}$. Область определения: $a \neq 9x$. 10. 8 a) $\frac{a^2+12x}{x^2-36} - \frac{36}{x^2-36} = \frac{a^2 + 12x - 36}{x^2 - 36} = \frac{a^2 + 12x - 36}{(x-6)(x+6)}$. Область определения: $x \neq 6$ и $x \neq -6$. 11. 8 б) $\frac{c^2+100}{c-10} + \frac{20c}{10-c} = \frac{c^2+100}{c-10} - \frac{20c}{c-10} = \frac{c^2 - 20c + 100}{c-10} = \frac{(c-10)^2}{c-10} = c-10$. Область определения: $c \neq 10$. 12. 9 a) $\frac{x^3}{x^2-y^2} - \frac{y^3}{x^2-y^2} = \frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$. Область определения: $x \neq y$ и $x \neq -y$. 13. 9 б) $\frac{n^2+n}{n^3-8} + \frac{n+4}{n^3-8} = \frac{n^2 + n + n + 4}{n^3 - 8} = \frac{n^2 + 2n + 4}{(n-2)(n^2+2n+4)} = \frac{1}{n-2}$. Область определения: $n \neq 2$. 14. б) $\frac{t^2}{(t+10)^2} - \frac{100}{(t+10)^2} = \frac{t^2 - 100}{(t+10)^2} = \frac{(t-10)(t+10)}{(t+10)^2} = \frac{t-10}{t+10}$. Область определения: $t \neq -10$. 15. г) $\frac{49c^2}{(b-7c)^2} - \frac{b^2}{(7c-b)^2} = \frac{49c^2 - b^2}{(b-7c)^2} = \frac{(7c-b)(7c+b)}{(b-7c)^2} = -\frac{7c+b}{b-7c}$. Область определения: $b \neq 7c$. 16. 8 б) $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} - \frac{2xy}{x^2-y^2} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2} = \frac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y}{x+y}$. Область определения: $x \neq y$ и $x \neq -y$. 17. г) $\frac{d^2+49}{7-d} + \frac{14d}{d-7} = -\frac{d^2 + 49}{d-7} + \frac{14d}{d-7} = \frac{-d^2 + 14d - 49}{d-7} = -\frac{(d-7)^2}{d-7} = -(d-7) = 7-d$. Область определения: $d \neq 7$. 18. б) $\frac{y^2}{y^2-4} - \frac{8}{y^2-4} = \frac{y^2 - 8}{y^2 - 4} = \frac{y^2 - 8}{(y-2)(y+2)}$. Область определения: $y \neq 2$ и $y \neq -2$. 19. г) $\frac{m^2+9}{m^3+27} - \frac{3m}{m^3+27} = \frac{m^2 - 3m + 9}{m^3 + 27} = \frac{m^2 - 3m + 9}{(m+3)(m^2-3m+9)} = \frac{1}{m+3}$. Область определения: $m \neq -3.