Контрольная работа № 3 по теме « Производная ». 1. Вычислить производные функций

Привет! Давай разберем контрольную работу по теме «Производная». Вот решения: **1. Вычислить производные функций:** Используем правило дифференцирования суммы $(f \pm g)' = f' \pm g'$ и правило для степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. а) $y = 3x^3 - 2x^4 + x^2 - 5$ $y' = (3x^3)' - (2x^4)' + (x^2)' - (5)'$ $y' = 3 \cdot 3x^2 - 2 \cdot 4x^3 + 2x - 0 = 9x^2 - 8x^3 + 2x$ б) $y = \sin x - 2\cos x$ Используем таблицы производных: $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$. $y' = \cos x - 2 \cdot (-\sin x) = \cos x + 2\sin x$ в) $y = x^3 \cdot e^x$ Используем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. $y' = (x^3)' \cdot e^x + x^3 \cdot (e^x)' = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x = e^x(3x^2 + x^3)$ г) $y = \frac{x^3}{x-4}$ Используем правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. $y' = \frac{(x^3)'(x-4) - x^3(x-4)'}{(x-4)^2} = \frac{3x^2(x-4) - x^3(1)}{(x-4)^2} = \frac{3x^3 - 12x^2 - x^3}{(x-4)^2} = \frac{2x^3 - 12x^2}{(x-4)^2}$ д) $y = \frac{x^3}{3}$ $y' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$ **2. Уравнение касательной к $y = e^x$ в точке $x_0 = 0$:** Уравнение: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. $f(x) = e^x$, $f(x_0) = e^0 = 1$. $f'(x) = e^x$, $f'(x_0) = e^0 = 1$. Подставляем: $y = 1 + 1(x - 0) \Rightarrow y = x + 1$. **Ответ: $y = x + 1$** **3. Скорость движения тела:** Скорость — это производная от пути по времени: $v(t) = S'(t)$. $S(t) = 0,5t^2 + 3t + 4$ $v(t) = S'(t) = 0,5 \cdot 2t + 3 = t + 3$ Найдем скорость при $t = 2$ секунды: $v(2) = 2 + 3 = 5$ (м/с). **Ответ: 5 м/с.**