Можешь доказать формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, что 4^(n+1) + 3^(2n) делится на 5, и что для любого натурального числа n справедливо равенство 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... + 1/((n + 1)(n + 2)) = n/(2n + 4)?

Сейчас помогу разобраться с этими задачками! **1. Докажите формулу суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{(2a_1 + (n - 1)d) \cdot n}{2}$ методом математической индукции.** Чтобы доказать эту формулу методом математической индукции, нужно пройти три шага: * **База индукции:** Проверяем формулу для первого члена, то есть при $n = 1$. Слева у нас просто $S_1 = a_1$. Справа: $\frac{(2a_1 + (1 - 1)d) \cdot 1}{2} = \frac{2a_1}{2} = a_1$. Всё сходится! * **Индукционный переход:** Предполагаем, что формула верна для какого-то $n = k$, то есть $S_k = \frac{(2a_1 + (k - 1)d) \cdot k}{2}$. Теперь нужно доказать, что она верна и для $n = k + 1$. То есть, нужно показать, что $S_{k+1} = \frac{(2a_1 + k d) \cdot (k+1)}{2}$. * **Доказательство индукционного перехода:** Мы знаем, что $S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$. Выразим $a_{k+1}$ через $a_1$ и $d$: $a_{k+1} = a_1 + k d$. Тогда $S_{k+1} = \frac{(2a_1 + (k - 1)d) \cdot k}{2} + a_1 + k d$. Приведём к общему знаменателю: $S_{k+1} = \frac{(2a_1 + (k - 1)d) \cdot k + 2(a_1 + k d)}{2}$. Раскроем скобки и упростим: $S_{k+1} = \frac{2a_1k + k^2d - kd + 2a_1 + 2kd}{2} = \frac{2a_1(k+1) + (k^2 + k)d}{2} = \frac{(2a_1 + k d)(k+1)}{2}$. Получили то, что и требовалось доказать! **2. Докажите, что $4^{n+1} + 3^{2n}$ делится на 5 для любого натурального числа $n$.** * **База индукции:** Проверяем для $n = 1$: $4^{1+1} + 3^{2\cdot1} = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$. 25 делится на 5. * **Индукционный переход:** Предположим, что для некоторого $n = k$ выражение $4^{k+1} + 3^{2k}$ делится на 5. * **Докажем, что тогда и $4^{(k+1)+1} + 3^{2(k+1)}$ делится на 5:** $4^{k+2} + 3^{2k+2} = 4 \cdot 4^{k+1} + 9 \cdot 3^{2k} = 4 \cdot 4^{k+1} + 4 \cdot 3^{2k} + 5 \cdot 3^{2k} = 4(4^{k+1} + 3^{2k}) + 5 \cdot 3^{2k}$. Первое слагаемое $4(4^{k+1} + 3^{2k})$ делится на 5, так как по предположению $4^{k+1} + 3^{2k}$ делится на 5. Второе слагаемое $5 \cdot 3^{2k}$ тоже делится на 5. Значит, и вся сумма делится на 5. **3. Докажите, что для любого натурального числа $n$ справедливо равенство $\frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + ... + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{n}{2n + 4}$.** * **База индукции:** Проверяем для $n = 1$: $\frac{1}{(1+1)(1+2)} = \frac{1}{2\cdot3} = \frac{1}{6}$. Справа: $\frac{1}{2\cdot1 + 4} = \frac{1}{6}$. Всё верно! * **Индукционный переход:** Предполагаем, что для некоторого $n = k$ равенство верно: $\frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + ... + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k}{2k + 4}$. * **Докажем, что оно верно и для $n = k + 1$:** $\frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + ... + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} + \frac{1}{(k + 2)(k + 3)} = \frac{k+1}{2(k+1) + 4}$. Используем предположение индукции: $\frac{k}{2k + 4} + \frac{1}{(k + 2)(k + 3)} = \frac{k}{2(k + 2)} + \frac{1}{(k + 2)(k + 3)} = \frac{k(k+3) + 2}{2(k + 2)(k + 3)} = \frac{k^2 + 3k + 2}{2(k + 2)(k + 3)} = \frac{(k+1)(k+2)}{2(k + 2)(k + 3)} = \frac{k+1}{2(k + 3)} = \frac{k+1}{2k + 6}$. С другой стороны, $\frac{k+1}{2(k+1) + 4} = \frac{k+1}{2k + 6}$. Всё сходится! Ура!