Объясни, коллинеарны ли векторы а + 3b и а, и докажи, что если векторы а и б не коллинеарны, то векторы а+в и а-в не коллинеарны

Для решения задачи 1000 нужно проверить, существует ли такое число $k$, что один вектор равен другому, умноженному на $k$: a) $\vec{a} + 3\vec{b}$ и $\vec{a}$. Предположим, что $\vec{a} + 3\vec{b} = k\vec{a}$. Тогда $3\vec{b} = (k-1)\vec{a}$. Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то есть $\vec{b} = m\vec{a}$ для некоторого числа $m$, то $3m\vec{a} = (k-1)\vec{a}$, и $k = 3m + 1$. В этом случае векторы коллинеарны. Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то такого $k$ не существует, и векторы $\vec{a} + 3\vec{b}$ и $\vec{a}$ не коллинеарны. б) $\vec{b} - 2\vec{a}$ и $\vec{a}$. Предположим, что $\vec{b} - 2\vec{a} = k\vec{a}$. Тогда $\vec{b} = (k+2)\vec{a}$. Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то есть $\vec{b} = m\vec{a}$ для некоторого числа $m$, то $m\vec{a} = (k+2)\vec{a}$, и $k = m - 2$. В этом случае векторы коллинеарны. Если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то такого $k$ не существует, и векторы $\vec{b} - 2\vec{a}$ и $\vec{a}$ не коллинеарны. Для задачи 1001 нужно доказать, что векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны, если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. а) Допустим, что $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$. Тогда $\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$. Перегруппируем слагаемые: $(1-k)\vec{a} = (-1-k)\vec{b}$. Если $k = 1$, то $-2\vec{b} = 0$, что неверно, так как $\vec{b}$ ненулевой. Если $k = -1$, то $2\vec{a} = 0$, что неверно, так как $\vec{a}$ ненулевой. Если $k \neq 1$ и $k \neq -1$, то $\vec{a} = \frac{-1-k}{1-k} \vec{b}$. Это означает, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны. б) Допустим, что $2\vec{a} - \vec{b} = k(\vec{a} + \vec{b})$. Тогда $2\vec{a} - \vec{b} = k\vec{a} + k\vec{b}$. Перегруппируем слагаемые: $(2-k)\vec{a} = (1+k)\vec{b}$. Если $k = -1$, то $3\vec{a} = 0$, что неверно, так как $\vec{a}$ ненулевой. Если $k \neq -1$, то $\vec{a} = \frac{1+k}{2-k} \vec{b}$. Это означает, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ не коллинеарны. в) Допустим, что $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} + 3\vec{b})$. Тогда $\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} + 3k\vec{b}$. Перегруппируем слагаемые: $(1-k)\vec{a} = (3k-1)\vec{b}$. Если $k = 1$, то $2\vec{b} = 0$, что неверно, так как $\vec{b}$ ненулевой. Если $k \neq 1$, то $\vec{a} = \frac{3k-1}{1-k} \vec{b}$. Это означает, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + 3\vec{b}$ не коллинеарны.