Можешь помочь найти область определения функций и вычислить пределы?

Привет! Давай помогу тебе с твоими задачками. 1. Чтобы найти область определения функции $y = \frac{1}{lg(27-2x)}$, нужно учесть два условия: * $27 - 2x > 0$ (так как аргумент логарифма должен быть положительным) * $lg(27 - 2x) \neq 0$ (так как знаменатель не может быть равен нулю) Решаем первое неравенство: $$27 - 2x > 0$$ $$2x < 27$$ $$x < 13.5$$ Решаем второе условие: $$lg(27 - 2x) \neq 0$$ $$27 - 2x \neq 1$$ $$2x \neq 26$$ $$x \neq 13$$ Область определения: $x < 13.5$ и $x \neq 13$. Это можно записать как $(-\infty; 13) \cup (13; 13.5)$. 2. Для функции $y = \sqrt{16 - x^2}$ нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $$16 - x^2 \geq 0$$ $$x^2 \leq 16$$ $$-4 \leq x \leq 4$$ Область определения: $[-4; 4]$. 3. Для функции $y = \sqrt{\frac{x+3}{2x+2}}$ нужно, чтобы: * $\frac{x+3}{2x+2} \geq 0$ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным) * $2x + 2 \neq 0$ (знаменатель не может быть равен нулю) Решаем неравенство методом интервалов: * $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ * $2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1$ Получаем интервалы: $(-\infty; -3]$, $[-3; -1)$, $(-1; +\infty)$. Проверяем знаки на каждом интервале: * $(-\infty; -3]$: возьмём $x = -4$. Тогда $\frac{-4+3}{2(-4)+2} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} > 0$. * $[-3; -1)$: возьмём $x = -2$. Тогда $\frac{-2+3}{2(-2)+2} = \frac{1}{-2} < 0$. * $(-1; +\infty)$: возьмём $x = 0$. Тогда $\frac{0+3}{2(0)+2} = \frac{3}{2} > 0$. Значит, $\frac{x+3}{2x+2} \geq 0$ при $x \in (-\infty; -3] \cup (-1; +\infty)$. Также, $2x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. Область определения: $(-\infty; -3] \cup (-1; +\infty)$. Теперь давай вычислим пределы: 1. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 3x} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)^2}{x(x-3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x} = \frac{3-3}{3} = \frac{0}{3} = 0$ 2. $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 8x + 4}{5x^2 - 14x + 8}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: * $3x^2 - 8x + 4 = (3x - 2)(x - 2)$ * $5x^2 - 14x + 8 = (5x - 4)(x - 2)$ Тогда предел равен: $\lim_{x \to 2} \frac{(3x - 2)(x - 2)}{(5x - 4)(x - 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{3x - 2}{5x - 4} = \frac{3(2) - 2}{5(2) - 4} = \frac{6 - 2}{10 - 4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ 3. $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 - 4x + 8}{5x^3 + 27x^2 + x}$. Разделим числитель и знаменатель на $x^3$: $\lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{4}{x^2} + \frac{8}{x^3}}{5 + \frac{27}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{3 - 0 + 0}{5 + 0 + 0} = \frac{3}{5}$ 4. $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{x+1} + 1$: $\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1} - 1)(\sqrt{x+1} + 1)}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+1) - 1}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{1}{\sqrt{0+1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ Вроде бы всё получилось! Если что-то непонятно, спрашивай!