В четырёхугольнике ABCD стороны АВ и СD равны. Какому условию должны удовлетворять стороны ВС и AD, чтобы четырёхугольник ABCD был параллелограммом?

28. Чтобы четырёхугольник $ABCD$ был параллелограммом, необходимо, чтобы стороны $BC$ и $AD$ были равны. 29. Рассмотрим треугольники $BAC$ и $DCA$. У них $AO = OC$ и $\angle BAC = \angle ACD$. Также, $AC$ - общая сторона. Значит, треугольники $BAC$ и $DCA$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что $\angle BCA = \angle DAC$ и $AB = CD$. Так как $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$, то $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$ (если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны). Значит, $ABCD$ - параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. 30. Поскольку $AFCE$ — параллелограмм, то $AF \parallel CE$ и $AF = CE$. Также дано, что $FB = ED$. Тогда $AB = AF - FB = CE - ED = CD$. Значит, $AB = CD$. Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. У него $AF \parallel CE$, следовательно, $AB \parallel CD$. Также $AB = CD$. Значит, $ABCD$ — параллелограмм (если две стороны четырёхугольника равны и параллельны, то это параллелограмм). 31. Поскольку $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$, то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников). Следовательно, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$. $\Delta A_1 B_1 C_1$ получается из $\Delta ABC$ параллельным переносом вдоль прямой $AA_1$. Значит, $BB_1 = AA_1$ и $CC_1 = AA_1$. Пусть $AA_1 = x$. Тогда $AC_1 = AA_1 + A_1C_1 = x + 10$ и $AC_1 = 18$ (дано). Получаем уравнение: $x + 10 = 18$, откуда $x = 18 - 10 = 8$ см. Тогда $BB_1 = AA_1 = 8$ см. **Ответ:** 8 см.