Можешь помочь решить неравенство x(x - 2) / (x + 3) > 0?

Конечно, давай решим эти неравенства! а) $\frac{x(x - 2)}{x + 3} > 0$ Чтобы решить это неравенство, нужно найти значения $x$, при которых выражение больше нуля. Сначала находим нули числителя и знаменателя: * $x(x - 2) = 0$ => $x = 0$ или $x = 2$ * $x + 3 = 0$ => $x = -3$ Теперь отметим эти точки на числовой прямой и посмотрим, какие знаки принимает выражение на каждом интервале: ----(-3)----(0)----(2)---> * $x < -3$: например, $x = -4$. Тогда $\frac{-4(-4 - 2)}{-4 + 3} = \frac{-4(-6)}{-1} = -24 < 0$ * $-3 < x < 0$: например, $x = -1$. Тогда $\frac{-1(-1 - 2)}{-1 + 3} = \frac{-1(-3)}{2} = \frac{3}{2} > 0$ * $0 < x < 2$: например, $x = 1$. Тогда $\frac{1(1 - 2)}{1 + 3} = \frac{1(-1)}{4} = -\frac{1}{4} < 0$ * $x > 2$: например, $x = 3$. Тогда $\frac{3(3 - 2)}{3 + 3} = \frac{3(1)}{6} = \frac{1}{2} > 0$ Выбираем интервалы, где выражение больше нуля: $(-3, 0)$ и $(2, \infty)$. б) $\frac{x^2 + 6x}{x - 2} \le 0$ Снова ищем нули числителя и знаменателя: * $x^2 + 6x = 0$ => $x(x + 6) = 0$ => $x = 0$ или $x = -6$ * $x - 2 = 0$ => $x = 2$ Отметим эти точки на числовой прямой: ----(-6)----(0)----(2)---> * $x < -6$: например, $x = -7$. Тогда $\frac{(-7)^2 + 6(-7)}{-7 - 2} = \frac{49 - 42}{-9} = -\frac{7}{9} < 0$ * $-6 < x < 0$: например, $x = -1$. Тогда $\frac{(-1)^2 + 6(-1)}{-1 - 2} = \frac{1 - 6}{-3} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} > 0$ * $0 < x < 2$: например, $x = 1$. Тогда $\frac{1^2 + 6(1)}{1 - 2} = \frac{1 + 6}{-1} = -7 < 0$ * $x > 2$: например, $x = 3$. Тогда $\frac{3^2 + 6(3)}{3 - 2} = \frac{9 + 18}{1} = 27 > 0$ Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю: $(-\infty, -6]$ и $[0, 2)$. в) $\frac{x(x + 1)}{x - 9} > 0$ Ищем нули: * $x(x + 1) = 0$ => $x = 0$ или $x = -1$ * $x - 9 = 0$ => $x = 9$ Отметим на числовой прямой: ----(-1)----(0)----(9)---> * $x < -1$: например, $x = -2$. Тогда $\frac{-2(-2 + 1)}{-2 - 9} = \frac{-2(-1)}{-11} = -\frac{2}{11} < 0$ * $-1 < x < 0$: например, $x = -0.5$. Тогда $\frac{-0.5(-0.5 + 1)}{-0.5 - 9} = \frac{-0.5(0.5)}{-9.5} > 0$ * $0 < x < 9$: например, $x = 1$. Тогда $\frac{1(1 + 1)}{1 - 9} = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4} < 0$ * $x > 9$: например, $x = 10$. Тогда $\frac{10(10 + 1)}{10 - 9} = \frac{10(11)}{1} = 110 > 0$ Выбираем интервалы, где выражение больше нуля: $(-1, 0)$ и $(9, \infty)$. г) $\frac{x - 5}{x^2 + 7x} \le 0$ Ищем нули: * $x - 5 = 0$ => $x = 5$ * $x^2 + 7x = 0$ => $x(x + 7) = 0$ => $x = 0$ или $x = -7$ Отметим на числовой прямой: ----(-7)----(0)----(5)---> * $x < -7$: например, $x = -8$. Тогда $\frac{-8 - 5}{(-8)^2 + 7(-8)} = \frac{-13}{64 - 56} = \frac{-13}{8} < 0$ * $-7 < x < 0$: например, $x = -1$. Тогда $\frac{-1 - 5}{(-1)^2 + 7(-1)} = \frac{-6}{1 - 7} = \frac{-6}{-6} = 1 > 0$ * $0 < x < 5$: например, $x = 1$. Тогда $\frac{1 - 5}{1^2 + 7(1)} = \frac{-4}{1 + 7} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} < 0$ * $x > 5$: например, $x = 6$. Тогда $\frac{6 - 5}{6^2 + 7(6)} = \frac{1}{36 + 42} = \frac{1}{78} > 0$ Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю: $(-\infty, -7)$ и $(0, 5]$.