Найди больший из отрезков, на которые делит среднюю линию трапеции одна из её диагоналей, если основания трапеции равны 9 и 21

Пусть у нас есть трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причём $AD = 21$ и $BC = 9$. Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон, и её длина равна полусумме оснований. Обозначим среднюю линию как $MN$, где $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $CD$. Тогда $$MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{21 + 9}{2} = \frac{30}{2} = 15.$$ Теперь рассмотрим диагональ, например, $AC$, которая пересекает среднюю линию $MN$ в точке $P$. Наша задача — найти длину большего из отрезков, на которые диагональ делит среднюю линию, то есть сравнить $MP$ и $PN$ и выбрать больший. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MP$ является средней линией этого треугольника, так как $M$ — середина $AB$, а $P$ лежит на $AC$. Значит, $MP$ параллельна $BC$ и равна её половине: $$MP = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4,5.$$ Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $PN$ является средней линией этого треугольника, так как $N$ — середина $CD$, а $P$ лежит на $AC$. Значит, $PN$ параллельна $AD$ и равна её половине: $$PN = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 21 = 10,5.$$ Сравниваем $MP$ и $PN$: $MP = 4,5$, $PN = 10,5$. Очевидно, что $PN > MP$. Таким образом, большая часть средней линии, на которую её делит диагональ, равна 10,5. **Ответ: 10,5**