Можешь вычислить скалярное произведение векторов: а) $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{C_1B_1}$; б) $\overrightarrow{C_1C} \cdot \overrightarrow{BA}$

Задача 1. а) Давай разбираться. \begin{enumerate} \item \textbf{Вектор $\overrightarrow{MN}$} Представим вектор $\overrightarrow{MN}$ как $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}$. Так как $M$ и $N$ - середины рёбер, то $\overrightarrow{MA} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}$. Тогда $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}$. \item \textbf{Скалярное произведение $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{C_1B_1}$} $\overrightarrow{C_1B_1} = -\overrightarrow{AB}$. Теперь найдём скалярное произведение: $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{C_1B_1} = (-\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}) \cdot (-\overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}^2 - \frac{1}{2} (\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB})$. Так как $\overrightarrow{AB}^2 = a^2$ (длина ребра куба равна $a$) и $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ (эти векторы перпендикулярны), то: $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{C_1B_1} = \frac{1}{2} a^2$. \item \textbf{Ответ:} $\frac{1}{2} a^2$ \end{enumerate} б) Здесь тоже всё просто. \begin{enumerate} \item \textbf{Вектор $\overrightarrow{C_1C}$} Вектор $\overrightarrow{C_1C}$ направлен вертикально вниз, и его длина равна $a$. \item \textbf{Скалярное произведение $\overrightarrow{C_1C} \cdot \overrightarrow{BA}$} Вектор $\overrightarrow{BA}$ противоположен вектору $\overrightarrow{AB}$, и его длина тоже равна $a$. Скалярное произведение $\overrightarrow{C_1C} \cdot \overrightarrow{BA} = |\overrightarrow{C_1C}| \cdot |\overrightarrow{BA}| \cdot cos(90^\circ) = a \cdot a \cdot 0 = 0$. \item \textbf{Ответ: 0} \end{enumerate} Задача 2. $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} < 0$ означает, что угол $ACB$ — тупой (больше 90 градусов). Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника. *Перевод:* *Задача 1.* *а) Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{C_1B_1}$ равно $\frac{1}{2} a^2$.* *б) Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{C_1C} \cdot \overrightarrow{BA}$ равно 0.* *Задача 2. Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника $ABC$, лежит вне треугольника.*