a) Чтобы сложить дроби $\frac{b-c}{b} + \frac{b}{b+c}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь будет $b(b+c)$.
Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на $(b+c)$, а числитель и знаменатель второй дроби на $b$:
$\frac{(b-c)(b+c)}{b(b+c)} + \frac{b \cdot b}{b(b+c)}$
Раскрываем скобки в числителе первой дроби:
$\frac{b^2 - c^2}{b(b+c)} + \frac{b^2}{b(b+c)}$
Теперь складываем дроби, складывая числители:
$\frac{b^2 - c^2 + b^2}{b(b+c)}$
Упрощаем числитель:
$\frac{2b^2 - c^2}{b(b+c)}$
**Ответ: $\frac{2b^2 - c^2}{b(b+c)}$**
б) Чтобы вычесть дроби $\frac{x+1}{x-2} - \frac{x+3}{x}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь будет $x(x-2)$.
Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на $x$, а числитель и знаменатель второй дроби на $(x-2)$:
$\frac{(x+1)x}{x(x-2)} - \frac{(x+3)(x-2)}{x(x-2)}$
Раскрываем скобки в числителях обеих дробей:
$\frac{x^2 + x}{x(x-2)} - \frac{x^2 + 3x - 2x - 6}{x(x-2)}$
Упрощаем числитель второй дроби:
$\frac{x^2 + x}{x(x-2)} - \frac{x^2 + x - 6}{x(x-2)}$
Теперь вычитаем дроби, вычитая числители:
$\frac{(x^2 + x) - (x^2 + x - 6)}{x(x-2)}$
Раскрываем скобки, меняя знаки у числителя второй дроби:
$\frac{x^2 + x - x^2 - x + 6}{x(x-2)}$
Упрощаем числитель:
$\frac{6}{x(x-2)}$
**Ответ: $\frac{6}{x(x-2)}$**
в) Чтобы вычесть дроби $\frac{m}{m-n} - \frac{n}{m+n}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь будет $(m-n)(m+n)$.
Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на $(m+n)$, а числитель и знаменатель второй дроби на $(m-n)$:
$\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{n(m-n)}{(m-n)(m+n)}$
Раскрываем скобки в числителях обеих дробей:
$\frac{m^2 + mn}{(m-n)(m+n)} - \frac{nm - n^2}{(m-n)(m+n)}$
Теперь вычитаем дроби, вычитая числители:
$\frac{(m^2 + mn) - (nm - n^2)}{(m-n)(m+n)}$
Раскрываем скобки, меняя знаки у числителя второй дроби:
$\frac{m^2 + mn - nm + n^2}{(m-n)(m+n)}$
Упрощаем числитель:
$\frac{m^2 + n^2}{(m-n)(m+n)}$
**Ответ: $\frac{m^2 + n^2}{(m-n)(m+n)}$**
г) Чтобы вычесть дроби $\frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{2a+1}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь будет $(2a-1)(2a+1)$.
Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на $(2a+1)$, а числитель и знаменатель второй дроби на $(2a-1)$:
$\frac{2a(2a+1)}{(2a-1)(2a+1)} - \frac{1(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)}$
Раскрываем скобки в числителях обеих дробей:
$\frac{4a^2 + 2a}{(2a-1)(2a+1)} - \frac{2a - 1}{(2a-1)(2a+1)}$
Теперь вычитаем дроби, вычитая числители:
$\frac{(4a^2 + 2a) - (2a - 1)}{(2a-1)(2a+1)}$
Раскрываем скобки, меняя знаки у числителя второй дроби:
$\frac{4a^2 + 2a - 2a + 1}{(2a-1)(2a+1)}$
Упрощаем числитель:
$\frac{4a^2 + 1}{(2a-1)(2a+1)}$
**Ответ: $\frac{4a^2 + 1}{(2a-1)(2a+1)}$**
д) Чтобы вычесть дроби $\frac{a}{a+2} - \frac{a}{a-2}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь будет $(a+2)(a-2)$.
Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на $(a-2)$, а числитель и знаменатель второй дроби на $(a+2)$:
$\frac{a(a-2)}{(a+2)(a-2)} - \frac{a(a+2)}{(a+2)(a-2)}$
Раскрываем скобки в числителях обеих дробей:
$\frac{a^2 - 2a}{(a+2)(a-2)} - \frac{a^2 + 2a}{(a+2)(a-2)}$
Теперь вычитаем дроби, вычитая числители:
$\frac{(a^2 - 2a) - (a^2 + 2a)}{(a+2)(a-2)}$
Раскрываем скобки, меняя знаки у числителя второй дроби:
$\frac{a^2 - 2a - a^2 - 2a}{(a+2)(a-2)}$
Упрощаем числитель:
$\frac{-4a}{(a+2)(a-2)}$
**Ответ: $\frac{-4a}{(a+2)(a-2)}$**
е) Чтобы вычесть дроби $\frac{p}{3p-1} - \frac{p}{1+3p}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь будет $(3p-1)(1+3p)$.
Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на $(1+3p)$, а числитель и знаменатель второй дроби на $(3p-1)$:
$\frac{p(1+3p)}{(3p-1)(1+3p)} - \frac{p(3p-1)}{(3p-1)(1+3p)}$
Раскрываем скобки в числителях обеих дробей:
$\frac{p + 3p^2}{(3p-1)(1+3p)} - \frac{3p^2 - p}{(3p-1)(1+3p)}$
Теперь вычитаем дроби, вычитая числители:
$\frac{(p + 3p^2) - (3p^2 - p)}{(3p-1)(1+3p)}$
Раскрываем скобки, меняя знаки у числителя второй дроби:
$\frac{p + 3p^2 - 3p^2 + p}{(3p-1)(1+3p)}$
Упрощаем числитель:
$\frac{2p}{(3p-1)(1+3p)}$
**Ответ: $\frac{2p}{(3p-1)(1+3p)}$**
