Помоги мне найти область определения функции, нули функции, доказать, что функция чётная или нечётная

100. a) Чтобы найти область определения функции $y = \frac{5}{|x - 1|}$, нужно понять, при каких значениях $x$ функция имеет смысл. Дробь имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю. Значит, $|x - 1| \neq 0$. Это означает, что $x - 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$. **Ответ:** Область определения: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. б) Для функции $y = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ нужно учесть два условия: выражение под корнем должно быть неотрицательным, и знаменатель не должен быть равен нулю. 1) $x - 1 \geq 0$, следовательно, $x \geq 1$. 2) $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$. **Ответ:** Область определения: $x \in [1; 2) \cup (2; +\infty)$. 101. a) Чтобы найти нули функции $y = 7x^2 - 6x - 1$, нужно решить уравнение $7x^2 - 6x - 1 = 0$. Это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$. **Ответ:** Нули функции: $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{1}{7}$. б) Чтобы найти нули функции $y = \sqrt{7 - 14x}$, нужно решить уравнение $\sqrt{7 - 14x} = 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $7 - 14x = 0$. Тогда $14x = 7$, следовательно, $x = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$. **Ответ:** Нуль функции: $x = \frac{1}{2}$. в) Чтобы найти нули функции $y = \frac{2x + 3}{9 - 4x^2}$, нужно решить уравнение $\frac{2x + 3}{9 - 4x^2} = 0$. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. 1) $2x + 3 = 0$, следовательно, $2x = -3$, и $x = -\frac{3}{2} = -1,5$. 2) $9 - 4x^2 \neq 0$, следовательно, $4x^2 \neq 9$, и $x^2 \neq \frac{9}{4}$. Значит, $x \neq \pm \frac{3}{2}$. **Ответ:** Нуль функции: $x = -\frac{3}{2}$. г) Чтобы найти нули функции $y = \frac{5x - 1}{x^2 + 16}$, нужно решить уравнение $\frac{5x - 1}{x^2 + 16} = 0$. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. 1) $5x - 1 = 0$, следовательно, $5x = 1$, и $x = \frac{1}{5}$. 2) $x^2 + 16 \neq 0$. Так как $x^2$ всегда неотрицателен, $x^2 + 16$ всегда больше нуля. Значит, это условие выполняется для любого $x$. **Ответ:** Нуль функции: $x = \frac{1}{5}$. 102. a) Чтобы найти нули функции $y = \frac{|x| - 3}{|x + 3|}$, нужно решить уравнение $\frac{|x| - 3}{|x + 3|} = 0$. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. 1) $|x| - 3 = 0$, следовательно, $|x| = 3$, и $x = \pm 3$. 2) $|x + 3| \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$. **Ответ:** Нуль функции: $x = 3$. б) Чтобы найти нули функции $y = \frac{\sqrt{3 - 2x}}{x + 5}$, нужно решить уравнение $\frac{\sqrt{3 - 2x}}{x + 5} = 0$. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. 1) $\sqrt{3 - 2x} = 0$, следовательно, $3 - 2x = 0$, и $2x = 3$, значит, $x = \frac{3}{2} = 1,5$. 2) $x + 5 \neq 0$, следовательно, $x \neq -5$. 3) $3 - 2x \ge 0$, следовательно, $2x \le 3$, $x \le 1,5$. **Ответ:** Нуль функции: $x = 1,5$. 103. a) Чтобы доказать, что функция $f(x) = 6 - 5x^2 + x^4$ чётная, нужно показать, что $f(-x) = f(x)$ для любого $x$. $f(-x) = 6 - 5(-x)^2 + (-x)^4 = 6 - 5x^2 + x^4 = f(x)$. Значит, функция чётная. б) Чтобы доказать, что функция $f(x) = 5|x|$ чётная, нужно показать, что $f(-x) = f(x)$ для любого $x$. $f(-x) = 5|-x| = 5|x| = f(x)$. Значит, функция чётная. 104. a) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x + \frac{1}{x}$ нечётная, нужно показать, что $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$. $f(-x) = -x + \frac{1}{-x} = -x - \frac{1}{x} = -(x + \frac{1}{x}) = -f(x)$. Значит, функция нечётная. б) Чтобы доказать, что функция $f(x) = 2x^3 - x$ нечётная, нужно показать, что $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$. $f(-x) = 2(-x)^3 - (-x) = -2x^3 + x = -(2x^3 - x) = -f(x)$. Значит, функция нечётная. 105. a) Чтобы определить, является ли функция $f(x) = \frac{5}{x}$ чётной или нечётной, нужно проверить, как она изменяется при замене $x$ на $-x$. $f(-x) = \frac{5}{-x} = -\frac{5}{x} = -f(x)$. Значит, функция нечётная. б) Чтобы определить, является ли функция $f(x) = 5 - 3x^2$ чётной или нечётной, нужно проверить, как она изменяется при замене $x$ на $-x$. $f(-x) = 5 - 3(-x)^2 = 5 - 3x^2 = f(x)$. Значит, функция чётная. в) Чтобы определить, является ли функция $f(x) = x^3 - x$ чётной или нечётной, нужно проверить, как она изменяется при замене $x$ на $-x$. $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$. Значит, функция нечётная. г) Чтобы определить, является ли функция $f(x) = 1 - |x|$ чётной или нечётной, нужно проверить, как она изменяется при замене $x$ на $-x$. $f(-x) = 1 - |-x| = 1 - |x| = f(x)$. Значит, функция чётная. 106. Недостаточно данных для точного решения. Нужно добавить: условие отражения относительно начала координат.