Реши примеры 29-36

29. Сравнить числа: а) Чтобы сравнить 5,48(5) и 5,4(85), нужно посмотреть на цифры после запятой. У числа 5,48(5) восьмерка повторяется, а у числа 5,4(85) повторяется 85. Так как 85 больше 8, то 5,48(5) < 5,4(85). б) Чтобы сравнить -3,5(61) и -3,56(1), нужно помнить, что отрицательные числа сравниваются наоборот: чем больше модуль числа, тем оно меньше. У числа -3,5(61) после запятой повторяется 61, а у числа -3,56(1) повторяется 61. Так как 561 больше, чем 56, то -3,5(61) > -3,56(1). 30. Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число: √3; √5; √8; √10; √20; √50; √75. Чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число, нужно извлечь квадратный корень из этого числа и округлить в меньшую и большую сторону. √3 ≈ 1,73, значит, число заключено между 1 и 2. √5 ≈ 2,24, значит, число заключено между 2 и 3. √8 ≈ 2,83, значит, число заключено между 2 и 3. √10 ≈ 3,16, значит, число заключено между 3 и 4. √20 ≈ 4,47, значит, число заключено между 4 и 5. √50 ≈ 7,07, значит, число заключено между 7 и 8. √75 ≈ 8,66, значит, число заключено между 8 и 9. 31. Сравните числа $c$ и $\sqrt{c}$ при условии, что: а) $c > 1$; б) $0 < c < 1$. Существует ли значение $c$, при котором верно равенство $\sqrt{c} = c$? а) Если $c > 1$, то $\sqrt{c} < c$. Например, если $c = 4$, то $\sqrt{4} = 2$, и $2 < 4$. б) Если $0 < c < 1$, то $\sqrt{c} > c$. Например, если $c = 0,25$, то $\sqrt{0,25} = 0,5$, и $0,5 > 0,25$. Равенство $\sqrt{c} = c$ верно только для двух значений: $c = 0$ и $c = 1$. 32. Сравните числа: а) $5\sqrt{3}$ и $3\sqrt{5}$; Чтобы сравнить эти числа, возведём каждое в квадрат: $(5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$ $(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$ Так как $75 > 45$, то $5\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$. б) $0,1\sqrt{4500}$ и $\sqrt{45}$; $0,1\sqrt{4500} = 0,1 \cdot \sqrt{45 \cdot 100} = 0,1 \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{100} = 0,1 \cdot \sqrt{45} \cdot 10 = \sqrt{45}$ Значит, $0,1\sqrt{4500} = \sqrt{45}$. в) $0,3\sqrt{10}$ и $0,1\sqrt{80}$; Чтобы сравнить эти числа, внесём множители под знак корня: $0,3\sqrt{10} = \sqrt{0,3^2 \cdot 10} = \sqrt{0,09 \cdot 10} = \sqrt{0,9}$ $0,1\sqrt{80} = \sqrt{0,1^2 \cdot 80} = \sqrt{0,01 \cdot 80} = \sqrt{0,8}$ Так как $0,9 > 0,8$, то $0,3\sqrt{10} > 0,1\sqrt{80}$. г) $-4\sqrt{0,2}$ и $-\sqrt{0,7}$. Чтобы сравнить эти числа, внесём множитель под знак корня: $-4\sqrt{0,2} = -\sqrt{16 \cdot 0,2} = -\sqrt{3,2}$ Так как $-\sqrt{3,2} < -\sqrt{0,7}$. 33. Найдите значение выражения: а) $12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7} : 1\frac{19}{21}$; Сначала нужно превратить смешанные числа в неправильные дроби: $12\frac{2}{5} = \frac{12 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{62}{5}$ $2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$ $1\frac{19}{21} = \frac{1 \cdot 21 + 19}{21} = \frac{40}{21}$ Теперь можно выполнить действия: $\frac{62}{5} - \frac{16}{7} : \frac{40}{21} = \frac{62}{5} - \frac{16}{7} \cdot \frac{21}{40} = \frac{62}{5} - \frac{16 \cdot 21}{7 \cdot 40} = \frac{62}{5} - \frac{2 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{62}{5} - \frac{6}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}$ б) $(12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7}) : 1\frac{19}{21}$; Используем результаты из предыдущего примера: $(\frac{62}{5} - \frac{16}{7}) : \frac{40}{21} = (\frac{62 \cdot 7}{5 \cdot 7} - \frac{16 \cdot 5}{7 \cdot 5}) : \frac{40}{21} = (\frac{434}{35} - \frac{80}{35}) : \frac{40}{21} = \frac{354}{35} : \frac{40}{21} = \frac{354}{35} \cdot \frac{21}{40} = \frac{177 \cdot 3}{5 \cdot 20} = \frac{531}{100} = 5,31$ 34. Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел: а) $2,4 \cdot 10^{-2}$ и $0,0125 \cdot 10^{3}$; $2,4 \cdot 10^{-2} = 0,024$ $0,0125 \cdot 10^{3} = 12,5$ Сумма: $0,024 + 12,5 = 12,524$ Разность: $12,5 - 0,024 = 12,476$ Произведение: $0,024 \cdot 12,5 = 0,3$ Частное: $12,5 : 0,024 = 520,833$ 35. Найдите значение выражения: а) $7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}$; $7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11} = 7^5 \cdot 7^8 : 7^{11} = 7^{5+8-11} = 7^2 = 49$ 36. Вычислите: а) $\frac{27^5 + 27^4}{9^8 + 9^7 + 9^6}$; $\frac{27^5 + 27^4}{9^8 + 9^7 + 9^6} = \frac{(3^3)^5 + (3^3)^4}{(3^2)^8 + (3^2)^7 + (3^2)^6} = \frac{3^{15} + 3^{12}}{3^{16} + 3^{14} + 3^{12}} = \frac{3^{12}(3^3 + 1)}{3^{12}(3^4 + 3^2 + 1)} = \frac{27 + 1}{81 + 9 + 1} = \frac{28}{91} = \frac{4}{13}$