Ты просишь доказать, что ABCD и MNPQ - параллелограммы.

Конечно, помогу доказать, что $ABCD$ и $MNPQ$ – параллелограммы! Доказать, что $ABCD$ и $MNPQ$ – параллелограммы, можно, используя признаки параллелограмма и свойства равных отрезков, данных в условии. **Доказательство:** 1. **Параллелограмм $ABCD$** * По условию, на сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырёхугольника $ABCD$ отмечены точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ так, что $AM = CP$ и $BN = DQ$. * Также дано, что $BM = DP$ и $NC = QA$. * Если сложить отрезки $AM$ и $BM$, получим $AB$. Аналогично, если сложить $CP$ и $DP$, получим $CD$. * Так как $AM = CP$ и $BM = DP$, то $AB = AM + BM = CP + DP = CD$. Значит, $AB = CD$. * Аналогично, если сложить отрезки $BN$ и $NC$, получим $BC$. И если сложить $DQ$ и $QA$, получим $DA$. * Так как $BN = DQ$ и $NC = QA$, то $BC = BN + NC = DQ + QA = DA$. Значит, $BC = DA$. * В четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно равны ($AB = CD$ и $BC = DA$). Следовательно, по признаку параллелограмма, $ABCD$ – параллелограмм. 2. **Параллелограмм $MNPQ$** * Чтобы доказать, что $MNPQ$ – параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны попарно параллельны или равны. * Рассмотрим треугольники $AMQ$ и $CPN$: * $AM = CP$ (по условию) * $AQ = NC$ (по условию) * $\angle A = \angle C$ (так как $ABCD$ – параллелограмм, его противоположные углы равны) * Следовательно, треугольники $AMQ$ и $CPN$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). * Из равенства треугольников следует, что $MQ = NP$. * Аналогично можно доказать равенство треугольников $BMN$ и $DPQ$: * $BM = DP$ (по условию) * $BN = DQ$ (по условию) * $\angle B = \angle D$ (так как $ABCD$ – параллелограмм) * Следовательно, треугольники $BMN$ и $DPQ$ равны. * Из равенства треугольников следует, что $MN = QP$. * В четырёхугольнике $MNPQ$ противоположные стороны попарно равны ($MQ = NP$ и $MN = QP$). Следовательно, по признаку параллелограмма, $MNPQ$ – параллелограмм. Таким образом, мы доказали, что и $ABCD$, и $MNPQ$ являются параллелограммами.