Реши уравнение 2sin²(π/2 + x) = -√3cosx и найди корни, принадлежащие промежутку [-3π, -3π/2]

Конечно, давай решим это уравнение вместе! а) Решим уравнение $2\sin^2(\frac{\pi}{2} + x) = -\sqrt{3}\cos x$. Используем формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$. Тогда уравнение примет вид: $2\cos^2 x = -\sqrt{3}\cos x$ Перенесем все в одну сторону: $2\cos^2 x + \sqrt{3}\cos x = 0$ Вынесем $\cos x$ за скобки: $\cos x(2\cos x + \sqrt{3}) = 0$ Теперь рассмотрим два случая: 1) $\cos x = 0$. Это означает, что $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число. 2) $2\cos x + \sqrt{3} = 0$, откуда $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это означает, что $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Итак, решение уравнения: $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$$ где $n, k$ - целые числа. б) Найдем корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-3\pi, -\frac{3\pi}{2}]$. 1) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ Подставим разные значения $n$, чтобы найти корни в заданном промежутке: - $n = -4$: $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2} = -3.5\pi$ (не подходит, так как меньше $-3\pi$) - $n = -3$: $x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2} = -2.5\pi$ (подходит, так как лежит в промежутке $[-3\pi, -\frac{3\pi}{2}]$) - $n = -2$: $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} = -1.5\pi$ (не подходит, так как больше $- \frac{3\pi}{2}$) 2) $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ Подставим разные значения $k$: - $k = -2$: $x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6} = -3\frac{\pi}{6}$ (подходит, так как лежит в промежутке $[-3\pi, -\frac{3\pi}{2}]$) - $k = -1$: $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$ (не подходит, так как больше $- \frac{3\pi}{2}$) 3) $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ Подставим разные значения $k$: - $k = -1$: $x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6} = -2\frac{5\pi}{6}$ (подходит, так как лежит в промежутке $[-3\pi, -\frac{3\pi}{2}]$) - $k = 0$: $x = -\frac{5\pi}{6}$ (не подходит, так как больше $- \frac{3\pi}{2}$) Итак, корни, принадлежащие промежутку $[-3\pi, -\frac{3\pi}{2}]$: $$x = -\frac{5\pi}{2}, \quad x = -\frac{19\pi}{6}, \quad x = -\frac{17\pi}{6}$$ **Ответ:** a) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $n, k$ - целые числа. б) $x = -\frac{5\pi}{2}, \quad x = -\frac{19\pi}{6}, \quad x = -\frac{17\pi}{6}$