Ты просишь доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей и выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей.

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями про геометрическую прогрессию. Геометрическая прогрессия – это когда каждое следующее число получается из предыдущего умножением на одно и то же число (знаменатель прогрессии). **Задание 15** Чтобы доказать, что прогрессия является бесконечно убывающей, нужно показать, что модуль её знаменателя меньше 1 (то есть, он находится между -1 и 1). 1) $1, \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, ...$ Здесь знаменатель $q = \frac{1}{5}$ (потому что $\frac{1}{5} = 1 * \frac{1}{5}$ и $\frac{1}{25} = \frac{1}{5} * \frac{1}{5}$). Так как $\left| \frac{1}{5} \right| < 1$, эта прогрессия бесконечно убывающая. 2) $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, ...$ Здесь знаменатель $q = \frac{1}{3}$ (потому что $\frac{1}{9} = \frac{1}{3} * \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{27} = \frac{1}{9} * \frac{1}{3}$). Так как $\left| \frac{1}{3} \right| < 1$, эта прогрессия бесконечно убывающая. 3) $-27, -9, -3, ...$ Здесь знаменатель $q = \frac{1}{3}$ (потому что $-9 = -27 * \frac{1}{3}$ и $-3 = -9 * \frac{1}{3}$). Так как $\left| \frac{1}{3} \right| < 1$, эта прогрессия бесконечно убывающая. 4) $-64, -32, -16, ...$ Здесь знаменатель $q = \frac{1}{2}$ (потому что $-32 = -64 * \frac{1}{2}$ и $-16 = -32 * \frac{1}{2}$). Так как $\left| \frac{1}{2} \right| < 1$, эта прогрессия бесконечно убывающая. **Задание 16** Чтобы выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, нужно найти знаменатель и проверить его модуль. 1) $b_1 = 40, b_2 = -20$ Знаменатель $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2}$. Так как $\left| -\frac{1}{2} \right| < 1$, эта прогрессия бесконечно убывающая. 2) $b_7 = 12, b_{11} = \frac{3}{4}$ Чтобы найти знаменатель, можно воспользоваться формулой $b_{11} = b_7 * q^4$. Тогда $q^4 = \frac{b_{11}}{b_7} = \frac{\frac{3}{4}}{12} = \frac{3}{4 * 12} = \frac{1}{16}$. Значит, $q = \pm \frac{1}{2}$. В обоих случаях $\left| q \right| < 1$, поэтому прогрессия бесконечно убывающая. 3) $b_7 = -30, b_8 = 15$ Знаменатель $q = \frac{b_8}{b_7} = \frac{15}{-30} = -\frac{1}{2}$. Так как $\left| -\frac{1}{2} \right| < 1$, эта прогрессия бесконечно убывающая. 4) $b_6 = 9, b_{10} = -\frac{1}{27}$ Чтобы найти знаменатель, можно воспользоваться формулой $b_{10} = b_6 * q^4$. Тогда $q^4 = \frac{b_{10}}{b_6} = \frac{-\frac{1}{27}}{9} = -\frac{1}{27 * 9} = -\frac{1}{243}$. Так как $q^4$ отрицательное число, то $q$ не является действительным числом. Значит, это не геометрическая прогрессия с действительным знаменателем, и вопрос о том, является ли она бесконечно убывающей, не имеет смысла.