Реши неравенство (16 - x²)(x² + 4)(x2 + x + 1)(x² - x - 12) < 0

Давай решим неравенство $$(16 - x^2)(x^2 + 4)(x^2 + x + 1)(x^2 - x - 12) \le 0.$$ 1. Разложим на множители: $(16 - x^2)$ и $(x^2 - x - 12)$. * $(16 - x^2) = (4 - x)(4 + x)$ * $(x^2 - x - 12) = (x - 4)(x + 3)$ 2. Заметим, что $(4 - x) = -(x - 4)$. Тогда неравенство можно переписать как: $$ -(x - 4)(x + 4)(x^2 + 4)(x^2 + x + 1)(x - 4)(x + 3) \le 0$$ Или, изменив знак и направление неравенства: $$(x - 4)^2(x + 4)(x^2 + 4)(x^2 + x + 1)(x + 3) \ge 0$$ 3. Анализируем каждый множитель: * $(x - 4)^2$ всегда неотрицателен. Обращается в нуль при $x = 4$. * $(x + 4)$ обращается в нуль при $x = -4$. * $(x^2 + 4)$ всегда положителен, так как $x^2$ неотрицателен, и к нему прибавляется 4. * $(x^2 + x + 1)$ тоже всегда положителен. Это можно проверить, вычислив дискриминант: $D = 1^2 - 4 dots 1 dots 1 = -3$. Так как дискриминант отрицателен, а коэффициент при $x^2$ положителен, то выражение всегда больше нуля. * $(x + 3)$ обращается в нуль при $x = -3$. 4. Определим знаки на числовой прямой. Отметим точки $-4$, $-3$ и $4$. Так как $(x-4)^2$ всегда неотрицателен, то знак не меняется при переходе через $x = 4$. ----(-4)----(-3)----(4)----> 5. Расставим знаки, начиная справа. Берём $x > 4$, например $x = 5$. Тогда все множители положительны, и знак выражения «+». При переходе через $x = 4$ знак не меняется, остаётся «+». При переходе через $x = -3$ знак меняется на «-». При переходе через $x = -4$ знак меняется на «+». ----(+)-(-4)-(-)-(+)-(-3)-(-)-(-)-(4)-(+)- (+)----> X 6. Нам нужны участки, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $(-\infty, -4]$ и $[-3, +\infty)$. Не забываем также про точку $x = 4$, где выражение равно нулю. **Ответ:** $x \in (-\infty, -4] \cup [-3, +\infty)$