Как сократить дробь $\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 + ab - 2a - 2b}$?

a) Давай сократим дробь $\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 + ab - 2a - 2b}$. 1. Разложим числитель и знаменатель на множители: * Числитель: $a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$ (это полный квадрат). * Знаменатель: $a^2 + ab - 2a - 2b$. Сгруппируем члены: $(a^2 - 2a) + (ab - 2b)$. Вынесем общие множители: $a(a - 2) + b(a - 2)$. Теперь вынесем $(a - 2)$: $(a - 2)(a + b)$. 2. Запишем дробь с новыми множителями: $$\frac{(a - 2)^2}{(a - 2)(a + b)}$$ 3. Сократим дробь, убрав одинаковый множитель $(a - 2)$: $$\frac{a - 2}{a + b}$$ **Ответ: $\frac{a - 2}{a + b}$** б) Сейчас упростим выражение $\frac{6x^2 - 3xy + 4x - 2y}{9x^2 + 12x + 4}$. 1. Разложим числитель и знаменатель на множители: * Числитель: $6x^2 - 3xy + 4x - 2y$. Сгруппируем члены: $(6x^2 - 3xy) + (4x - 2y)$. Вынесем общие множители: $3x(2x - y) + 2(2x - y)$. Теперь вынесем $(2x - y)$: $(2x - y)(3x + 2)$. * Знаменатель: $9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2$ (это полный квадрат). 2. Запишем дробь с новыми множителями: $$\frac{(2x - y)(3x + 2)}{(3x + 2)^2}$$ 3. Сократим дробь, убрав одинаковый множитель $(3x + 2)$: $$\frac{2x - y}{3x + 2}$$ **Ответ: $\frac{2x - y}{3x + 2}$** в) Сейчас упростим выражение $\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^3 + 8b^3}$. 1. Разложим числитель и знаменатель на множители: * Числитель: $a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2$ (это полный квадрат). * Знаменатель: $a^3 + 8b^3 = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$ (сумма кубов). 2. Запишем дробь с новыми множителями: $$\frac{(a + 2b)^2}{(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)}$$ 3. Сократим дробь, убрав одинаковый множитель $(a + 2b)$: $$\frac{a + 2b}{a^2 - 2ab + 4b^2}$$ **Ответ: $\frac{a + 2b}{a^2 - 2ab + 4b^2}$** г) Сейчас упростим выражение $\frac{27x^3 - y^3}{18x^2 + 6xy + 2y^2}$. 1. Разложим числитель и знаменатель на множители: * Числитель: $27x^3 - y^3 = (3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2)$ (разность кубов). * Знаменатель: $18x^2 + 6xy + 2y^2 = 2(9x^2 + 3xy + y^2)$. 2. Запишем дробь с новыми множителями: $$\frac{(3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2)}{2(9x^2 + 3xy + y^2)}$$ 3. Сократим дробь, убрав одинаковый множитель $(9x^2 + 3xy + y^2)$: $$\frac{3x - y}{2}$$ **Ответ: $\frac{3x - y}{2}$**