Можешь доказать, что при любых a, b и c, a² + b²+c² ≥ 2(a+b+c) 3?

Привет! Давай докажем эти неравенства. а) $a^2 + b^2 + c^2 \ge 2(a + b + c) - 3$ Преобразуем неравенство: $a^2 - 2a + b^2 - 2b + c^2 - 2c + 3 \ge 0$ $(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) \ge 0$ $(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 \ge 0$ Сумма квадратов всегда неотрицательна, значит, неравенство верно. б) $(a + b + c)^2 \ge 3(ab + ac + bc)$ Раскроем квадрат: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \ge 3ab + 3ac + 3bc$ $a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc \ge 0$ Умножим на 2: $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc \ge 0$ $(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) \ge 0$ $(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 \ge 0$ Сумма квадратов всегда неотрицательна, значит, неравенство верно. в) $(a + b - c)^2 + (a - b + c)^2 + (b + c - a)^2 \ge ab + bc + ac$ Раскроем квадраты: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc + a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc + a^2 + b^2 + c^2 - 2ac + 2bc - 2ab \ge ab + bc + ac$ $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc \ge 0$ $a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc \ge 0$ $(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 \ge 0$ Сумма квадратов всегда неотрицательна, значит, неравенство верно.