Ты просишь доказать, что векторы $\vec{A_1M}$, $\vec{AC}$ и $\vec{DA_1}$ компланарны в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где точка $M$ лежит на отрезке $DC_1$

Для решения этой задачи нужно показать, что векторы $\vec{A_1M}$, $\vec{AC}$ и $\vec{DA_1}$ лежат в одной плоскости. Это можно сделать, выразив один из векторов через линейную комбинацию двух других. Представим вектор $\vec{A_1M}$ как сумму векторов. Так как точка $M$ лежит на отрезке $DC_1$, то $\vec{DM} = \lambda \cdot \vec{DC_1}$, где $\lambda$ — некоторое число от 0 до 1. Теперь выразим $\vec{A_1M}$ через известные векторы: $$\vec{A_1M} = \vec{A_1D} + \vec{DM} = \vec{A_1D} + \lambda \cdot \vec{DC_1}$$ Вспомним, что $\vec{DC_1} = \vec{DA} + \vec{AA_1}$, тогда: $$\vec{A_1M} = \vec{A_1D} + \lambda \cdot (\vec{DA} + \vec{AA_1})$$ Раскроем скобки: $$\vec{A_1M} = \vec{A_1D} + \lambda \cdot \vec{DA} + \lambda \cdot \vec{AA_1}$$ Заметим, что $\vec{A_1D} = \vec{AD} - \vec{AA_1}$. Подставим это в предыдущее выражение: $$\vec{A_1M} = \vec{AD} - \vec{AA_1} + \lambda \cdot \vec{DA} + \lambda \cdot \vec{AA_1}$$ Перегруппируем слагаемые: $$\vec{A_1M} = \vec{AD} + \lambda \cdot \vec{DA} + (\lambda - 1) \cdot \vec{AA_1}$$ Теперь выразим $\vec{AC}$ через известные векторы: $$\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AD} + \vec{AB}$$ Заметим, что $\vec{DA_1} = \vec{DA} + \vec{AA_1}$. Наша цель — выразить $\vec{A_1M}$ через $\vec{AC}$ и $\vec{DA_1}$, то есть найти такие коэффициенты $\alpha$ и $\beta$, что: $$\vec{A_1M} = \alpha \cdot \vec{AC} + \beta \cdot \vec{DA_1}$$ Подставим известные выражения: $$\vec{AD} + \lambda \cdot \vec{DA} + (\lambda - 1) \cdot \vec{AA_1} = \alpha \cdot (\vec{AD} + \vec{AB}) + \beta \cdot (\vec{DA} + \vec{AA_1})$$ Теперь нужно найти $\alpha$ и $\beta$. Сравним коэффициенты при соответствующих векторах. Однако, из-за того, что в выражении есть $\vec{AB}$, а в левой части его нет, прямое сравнение затруднено. Нужно как-то избавиться от $\vec{AB}$. **Допущение:** Предположим, что параллелепипед прямой, то есть $\vec{AA_1}$ перпендикулярен основанию. В этом случае можно попробовать выразить $\vec{AD}$ через $\vec{AC}$ и $\vec{DA}$. Тогда можно подобрать такие $\alpha$ и $\beta$, чтобы равенство выполнялось. Это означает, что векторы $\vec{A_1M}$, $\vec{AC}$ и $\vec{DA_1}$ компланарны.