вычислить сумму ряда с точностью α

Для знакочередующегося ряда $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n^2}{3^n}$ с точностью $\alpha = 0{,}1$ воспользуемся признаком Лейбница. Так как ряд удовлетворяет условиям сходимости, погрешность при замене суммы ряда на его частичную сумму $S_N$ не превышает модуля первого отброшенного члена: $|R_N| \le a_{N+1} = \frac{(N+1)^2}{3^{N+1}}$. Вычислим члены ряда: $n=1: a_1 = \frac{1^2}{3^1} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$ $n=2: a_2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \approx 0{,}444$ $n=3: a_3 = \frac{3^2}{3^3} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$ $n=4: a_4 = \frac{4^2}{3^4} = \frac{16}{81} \approx 0{,}197$ $n=5: a_5 = \frac{5^2}{3^5} = \frac{25}{243} \approx 0{,}103$ $n=6: a_6 = \frac{6^2}{3^6} = \frac{36}{729} \approx 0{,}049$ Нам нужно, чтобы $a_{N+1} < 0{,}1$. Проверяем: $a_6 \approx 0{,}049 < 0{,}1$. Значит, достаточно взять $N=5$, то есть суммировать первые 5 членов. $S_5 = - \frac{1}{3} + \frac{4}{9} - \frac{9}{27} + \frac{16}{81} - \frac{25}{243}$ Приведем к общему знаменателю 243: $S_5 = \frac{-81 + 108 - 81 + 48 - 25}{243} = \frac{-31}{243} \approx -0{,}1276$ **Ответ:** $-31/243 \approx -0{,}128$.