Составь дробь: а) числитель которой — произведение переменных x и y, а знаменатель — их сумма

9. Составь дробь: а) Дробь, у которой в числителе произведение переменных $x$ и $y$, а в знаменателе их сумма, выглядит так: $\frac{xy}{x+y}$. б) Дробь, у которой в числителе разность переменных $a$ и $b$, а в знаменателе их произведение, выглядит так: $\frac{a-b}{ab}$. 10. Найди, при каких значениях переменной имеет смысл рациональное выражение: а) Выражение $\frac{x}{x-2}$ имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю: $x - 2 \neq 0$. Значит, $x \neq 2$. б) Выражение $\frac{b+4}{b^2+7}$ имеет смысл при любых значениях $b$, так как знаменатель $b^2+7$ всегда положителен (больше 0). в) Выражение $\frac{y-1}{y-3} + \frac{y}{y}$ имеет смысл, когда оба знаменателя не равны нулю: $y - 3 \neq 0$ и $y \neq 0$. Значит, $y \neq 3$ и $y \neq 0$. г) Выражение $\frac{a+10}{a(a-1)} - 1$ имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю: $a(a-1) \neq 0$. Значит, $a \neq 0$ и $a \neq 1$. 11. Укажи допустимые значения переменной в выражении: а) Выражение $x^2 - 8x + 9$ не имеет знаменателя, поэтому $x$ может быть любым числом. б) Выражение $\frac{3x-6}{7}$ не имеет ограничений на $x$, так как знаменатель постоянен и не зависит от $x$. в) Выражение $\frac{x-5}{x^2+25} - 3x$ имеет смысл при любых значениях $x$, так как знаменатель $x^2+25$ всегда положителен (больше 0). г) Выражение $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$ имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю: $4x(x+1) \neq 0$. Значит, $x \neq 0$ и $x \neq -1$. д) Выражение $\frac{1}{6x-3}$ имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю: $6x - 3 \neq 0$. Значит, $6x \neq 3$, и $x \neq \frac{1}{2}$. е) Выражение $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x}$ имеет смысл, когда оба знаменателя не равны нулю: $x + 8 \neq 0$ и $x \neq 0$. Значит, $x \neq -8$ и $x \neq 0$. 12. Найди допустимые значения переменной в выражении: а) Выражение $\frac{5y-8}{11}$ не имеет ограничений на $y$, так как знаменатель постоянен и не зависит от $y$. б) Выражение $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$ имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю: $y^2 - 2y \neq 0$. Это можно записать как $y(y-2) \neq 0$. Значит, $y \neq 0$ и $y \neq 2$. в) Выражение $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$ имеет смысл, когда оба знаменателя не равны нулю: $y - 6 \neq 0$ и $y + 6 \neq 0$. Значит, $y \neq 6$ и $y \neq -6$. г) Выражение $\frac{y-10}{y^2+3}$ имеет смысл при любых значениях $y$, так как знаменатель $y^2+3$ всегда положителен (больше 0). д) Выражение $\frac{25}{y-9}$ имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю: $y - 9 \neq 0$. Значит, $y \neq 9$. е) Выражение $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$ имеет смысл, когда оба знаменателя не равны нулю: $y \neq 0$ и $y + 7 \neq 0$. Значит, $y \neq 0$ и $y \neq -7$. 13. Найди область определения функции: а) Функция $y = \frac{1}{x-2}$ определена, когда знаменатель не равен нулю: $x - 2 \neq 0$. Значит, $x \neq 2$. б) Функция $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$ определена, когда знаменатель не равен нулю: $x(x+1) \neq 0$. Значит, $x \neq 0$ и $x \neq -1$. в) Функция $y = x + \frac{1}{x+5}$ определена, когда знаменатель не равен нулю: $x + 5 \neq 0$. Значит, $x \neq -5$. 14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x-3}{5}$ равно 0: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $x - 3 = 0$. Значит, $x = 3$. **Правильный ответ: Г** 15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: а) $\frac{y-5}{8}$: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $y - 5 = 0$. Значит, $y = 5$. б) $\frac{2y+3}{10}$: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $2y + 3 = 0$. Значит, $2y = -3$, и $y = -\frac{3}{2}$. в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $x(x-1) = 0$. Значит, $x = 0$ или $x = 1$. Но нужно исключить значения, при которых знаменатель равен нулю: $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$. Таким образом, $x = 0$ или $x = 1$. г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $x(x+3) = 0$. Значит, $x = 0$ или $x = -3$. Но нужно исключить значения, при которых знаменатель равен нулю: $2x + 6 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. Таким образом, $x = 0$. 16. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что: а) Если $a > 0$ и $b > 0$, то дробь $\frac{a}{b}$ положительна (больше 0). б) Если $a > 0$ и $b < 0$, то дробь $\frac{a}{b}$ отрицательна (меньше 0). в) Если $a < 0$ и $b > 0$, то дробь $\frac{a}{b}$ отрицательна (меньше 0). г) Если $a < 0$ и $b < 0$, то дробь $\frac{a}{b}$ положительна (больше 0), так как минус на минус даёт плюс. 17. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби: а) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно: Знаменатель $x^2+1$ всегда положителен (больше 0) при любом значении $x$, так как $x^2$ всегда неотрицателен (больше или равно 0), и к нему прибавляется 1. Числитель равен 3, что тоже положительное число. Значит, дробь положительна. б) $\frac{-5}{y^4+4}$ отрицательно: Знаменатель $y^4+4$ всегда положителен (больше 0) при любом значении $y$, так как $y^4$ всегда неотрицателен (больше или равно 0), и к нему прибавляется 4. Числитель равен -5, что отрицательное число. Значит, дробь отрицательна. в) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ неотрицательно: Числитель $(a-1)^2$ всегда неотрицателен (больше или равно 0) при любом значении $a$, так как это квадрат числа. Знаменатель $a^2+10$ всегда положителен (больше 0) при любом значении $a$, так как $a^2$ всегда неотрицателен (больше или равно 0), и к нему прибавляется 10. Значит, дробь неотрицательна. г) $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ неположительно: Числитель $(b-3)^2$ всегда неотрицателен (больше или равно 0) при любом значении $b$, так как это квадрат числа. Знаменатель $-b^2-1$ всегда отрицателен (меньше 0) при любом значении $b$, так как $-b^2$ всегда неположителен (меньше или равно 0), и из него вычитается 1. Значит, дробь неположительна.