Предложи упростить выражение: a) $\frac{7(m - 2)}{m^3 - 8} - \frac{m + 2}{m^2 + 2m + 4}$

a) Для упрощения выражения $\frac{7(m - 2)}{m^3 - 8} - \frac{m + 2}{m^2 + 2m + 4}$ сначала разложим знаменатель первой дроби как разность кубов: $m^3 - 8 = (m - 2)(m^2 + 2m + 4)$. Теперь приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{7(m - 2)}{(m - 2)(m^2 + 2m + 4)} - \frac{m + 2}{m^2 + 2m + 4} = \frac{7(m - 2) - (m + 2)(m - 2)}{(m - 2)(m^2 + 2m + 4)}$ $\frac{7(m - 2) - (m + 2)(m - 2)}{(m - 2)(m^2 + 2m + 4)} = \frac{(m - 2)(7 - (m + 2))}{(m - 2)(m^2 + 2m + 4)} = \frac{7 - m - 2}{m^2 + 2m + 4} = \frac{5 - m}{m^2 + 2m + 4}$ Умножим полученное выражение на $\frac{2m^2 + 4m + 8}{m - 3}$. Заметим, что $2m^2 + 4m + 8 = 2(m^2 + 2m + 4)$. $\frac{5 - m}{m^2 + 2m + 4} \cdot \frac{2(m^2 + 2m + 4)}{m - 3} = \frac{(5 - m) \cdot 2}{m - 3} = \frac{10 - 2m}{m - 3} = \frac{-2(m - 5)}{m - 3}$ **Ответ:** $\frac{-2(m - 5)}{m - 3}$ или $\frac{10 - 2m}{m - 3}$ б) Сначала упростим выражение в скобках. Разложим $a^2 - 9$ на $(a - 3)(a + 3)$, а $a^3 + 27$ на $(a + 3)(a^2 - 3a + 9)$. $\frac{a + 2}{a^2 - 3a + 9} - \frac{2(a + 8)}{a^3 + 27} = \frac{a + 2}{a^2 - 3a + 9} - \frac{2(a + 8)}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)}$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{(a + 2)(a + 3) - 2(a + 8)}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{a^2 + 5a + 6 - 2a - 16}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{a^2 + 3a - 10}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)}$ Разложим числитель на множители: $a^2 + 3a - 10 = (a + 5)(a - 2)$. Тогда выражение примет вид: $\frac{(a + 5)(a - 2)}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)}$ Теперь разделим $\frac{a + 5}{a^2 - 9}$ на полученное выражение, то есть умножим на обратное: $\frac{a + 5}{(a - 3)(a + 3)} : \frac{(a + 5)(a - 2)}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{a + 5}{(a - 3)(a + 3)} \cdot \frac{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)}{(a + 5)(a - 2)}$ Сократим $(a + 5)$ и $(a + 3)$: $\frac{a^2 - 3a + 9}{(a - 3)(a - 2)}$ **Ответ:** $\frac{a^2 - 3a + 9}{(a - 3)(a - 2)}$ в) Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{x + 2}{3x} - \frac{2}{x - 2} - \frac{x - 14}{3x^2 - 6x} = \frac{x + 2}{3x} - \frac{2}{x - 2} - \frac{x - 14}{3x(x - 2)}$ Общий знаменатель $3x(x - 2)$. Приведем к нему: $\frac{(x + 2)(x - 2) - 2 \cdot 3x - (x - 14)}{3x(x - 2)} = \frac{x^2 - 4 - 6x - x + 14}{3x(x - 2)} = \frac{x^2 - 7x + 10}{3x(x - 2)}$ Разложим числитель на множители: $x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2)$. Тогда выражение примет вид: $\frac{(x - 5)(x - 2)}{3x(x - 2)} = \frac{x - 5}{3x}$ Теперь разделим на $\frac{x + 2}{6x} \cdot \frac{1}{x - 5}$, то есть умножим на обратное: $\frac{x - 5}{3x} : (\frac{x + 2}{6x} \cdot \frac{1}{x - 5}) = \frac{x - 5}{3x} : \frac{x + 2}{6x(x - 5)} = \frac{x - 5}{3x} \cdot \frac{6x(x - 5)}{x + 2}$ Сократим $3x$ и $6x$: $\frac{(x - 5) \cdot 2(x - 5)}{x + 2} = \frac{2(x - 5)^2}{x + 2}$ **Ответ:** $\frac{2(x - 5)^2}{x + 2}$ г) Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{4x}{9 - x^2} - \frac{x - 3}{9 + 3x} = \frac{4x}{(3 - x)(3 + x)} - \frac{x - 3}{3(3 + x)}$ Общий знаменатель $3(3 - x)(3 + x)$. Приведем к нему: $\frac{4x \cdot 3 - (x - 3)(3 - x)}{3(3 - x)(3 + x)} = \frac{12x - (3x - x^2 - 9 + 3x)}{3(3 - x)(3 + x)} = \frac{12x - 6x + x^2 + 9}{3(3 - x)(3 + x)} = \frac{x^2 + 6x + 9}{3(3 - x)(3 + x)}$ Разложим числитель на множители: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$. Тогда выражение примет вид: $\frac{(x + 3)^2}{3(3 - x)(3 + x)} = \frac{x + 3}{3(3 - x)}$ Теперь умножим на $(\frac{18}{x + 3} - \frac{2x}{3 - x})$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{18}{x + 3} - \frac{2x}{3 - x} = \frac{18(3 - x) - 2x(x + 3)}{(x + 3)(3 - x)} = \frac{54 - 18x - 2x^2 - 6x}{(x + 3)(3 - x)} = \frac{-2x^2 - 24x + 54}{(x + 3)(3 - x)}$ Разделим числитель на -2: $\frac{-2(x^2 + 12x - 27)}{(x + 3)(3 - x)} = \frac{-2(x + 15)(x - 3)}{(x + 3)(3 - x)}$ Упростим: $\frac{-2(x + 15)(x - 3)}{(x + 3)(3 - x)} = \frac{2(x + 15)}{x + 3}$ Теперь умножим: $\frac{x + 3}{3(3 - x)} \cdot \frac{2(x + 15)}{x + 3} = \frac{2(x + 15)}{3(3 - x)}$ **Ответ:** $\frac{2(x + 15)}{3(3 - x)}$