По значению котангенса, равному 7, и заданному интервалу \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), нужно найти значения тангенса, синуса и косинуса.

Раз ctg \(\alpha\) = 7, то tg \(\alpha\) = \(\frac{1}{7}\). Так как \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), то \(\alpha\) находится в третьей четверти. В третьей четверти синус и косинус отрицательны. 1. Находим синус и косинус через тангенс: $${\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1}$$ $${\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}}$$ $${\tg^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}}$$ $${\cos^2 \alpha = \frac{1}{\tg^2 \alpha + 1}}$$ $${\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{\tg^2 \alpha + 1}}}$$ Так как косинус в третьей четверти отрицательный, то $${\cos \alpha = - \sqrt{\frac{1}{\tg^2 \alpha + 1}} = - \sqrt{\frac{1}{\left(\frac{1}{7}\right)^2 + 1}} = - \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{49} + 1}} = - \sqrt{\frac{1}{\frac{50}{49}}} = - \sqrt{\frac{49}{50}} = - \frac{7}{\sqrt{50}} = - \frac{7}{5\sqrt{2}} = - \frac{7\sqrt{2}}{10}}$$ 2. Находим синус: $${\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha}$$ $${\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}$$ Так как синус в третьей четверти отрицательный, то $${\sin \alpha = - \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = - \sqrt{1 - \left(-\frac{7\sqrt{2}}{10}\right)^2} = - \sqrt{1 - \frac{49 \cdot 2}{100}} = - \sqrt{1 - \frac{98}{100}} = - \sqrt{\frac{2}{100}} = - \frac{\sqrt{2}}{10}}$$ **Ответ:** $${\tg \alpha = \frac{1}{7}}$$ $${\sin \alpha = - \frac{\sqrt{2}}{10}}$$ $${\cos \alpha = - \frac{7\sqrt{2}}{10}}$$