Вычисли значения тригонометрических функций угла β, зная, что sin β = 40/41 и π/2 < β < π

Конечно, давай вычислим значения тригонометрических функций для угла $\beta$ в каждом случае! a) Дано: $\sin \beta = \frac{40}{41}$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$. Это значит, что угол $\beta$ находится во второй четверти, где синус положительный, а косинус отрицательный. Нам нужно найти $\cos \beta$, $\tan \beta$ и $\cot \beta$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$. $$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - \left(\frac{40}{41}\right)^2 = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{1681 - 1600}{1681} = \frac{81}{1681}$$ Так как $\beta$ во второй четверти, $\cos \beta$ будет отрицательным: $$\cos \beta = -\sqrt{\frac{81}{1681}} = -\frac{9}{41}$$ Теперь найдем тангенс и котангенс: $$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\frac{40}{41}}{-\frac{9}{41}} = -\frac{40}{9}$$ $$\cot \beta = \frac{1}{\tan \beta} = -\frac{9}{40}$$ б) Дано: $\cos \beta = \frac{4}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$. Это значит, что угол $\beta$ находится в четвертой четверти, где косинус положительный, а синус отрицательный. Нам нужно найти $\sin \beta$, $\tan \beta$ и $\cot \beta$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$. $$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$$ Так как $\beta$ в четвертой четверти, $\sin \beta$ будет отрицательным: $$\sin \beta = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$$ Теперь найдем тангенс и котангенс: $$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$$ $$\cot \beta = \frac{1}{\tan \beta} = -\frac{4}{3}$$ в) Дано: $\tan \beta = 1$ и $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Это значит, что угол $\beta$ находится в третьей четверти, где тангенс положительный, а синус и косинус отрицательные. Так как $\tan \beta = 1$, то $\sin \beta = \cos \beta$, но с учетом знаков в третьей четверти оба они будут отрицательными. Нам нужно найти $\sin \beta$, $\cos \beta$ и $\cot \beta$. Используем то, что $\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = 1$, следовательно, $\sin \beta = \cos \beta$. Из основного тригонометрического тождества: $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ следует: $$2\sin^2 \beta = 1$$ $$\sin^2 \beta = \frac{1}{2}$$ Так как $\beta$ в третьей четверти, $\sin \beta$ будет отрицательным: $$\sin \beta = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Тогда и $\cos \beta$ будет таким же: $$\cos \beta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Котангенс будет равен: $$\cot \beta = \frac{1}{\tan \beta} = 1$$ г) Дано: $\cot \beta = 3$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$. Это значит, что угол $\beta$ находится в первой четверти, где все тригонометрические функции положительные. Нам нужно найти $\sin \beta$, $\cos \beta$ и $\tan \beta$. Используем то, что $\cot \beta = 3$, следовательно, $\tan \beta = \frac{1}{3}$. Теперь найдем синус и косинус. Мы знаем, что: $$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{1}{3}$$ Выразим $\sin \beta$ через $\cos \beta$: $\sin \beta = \frac{1}{3} \cos \beta$. Подставим это в основное тригонометрическое тождество: $$\left(\frac{1}{3} \cos \beta\right)^2 + \cos^2 \beta = 1$$ $$\frac{1}{9} \cos^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$$ $$\frac{10}{9} \cos^2 \beta = 1$$ $$\cos^2 \beta = \frac{9}{10}$$ Так как $\beta$ в первой четверти, $\cos \beta$ будет положительным: $$\cos \beta = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$ Теперь найдем синус: $$\sin \beta = \frac{1}{3} \cos \beta = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$ А тангенс нам уже известен: $$\tan \beta = \frac{1}{3}$$ *Перевод:* a) Given: $\sin \beta = \frac{40}{41}$ and $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$. Find $\cos \beta$, $\tan \beta$ and $\cot \beta$. b) Given: $\cos \beta = \frac{4}{5}$ and $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$. Find $\sin \beta$, $\tan \beta$ and $\cot \beta$. c) Given: $\tan \beta = 1$ and $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Find $\sin \beta$, $\cos \beta$ and $\cot \beta$. d) Given: $\cot \beta = 3$ and $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$. Find $\sin \beta$, $\cos \beta$ and $\tan \beta$.