Объясни, как доказать, что четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом, если диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, а вершины этого четырёхугольника являются серединами отрезков $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$.

Для решения этой задачи нам понадобится вспомнить свойства параллелограмма и понятие средней линии треугольника. Вот как можно доказать, что четырёхугольник $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм: 1. **Параллелограмм ABCD:** * Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Это значит, что $AO = OC$ и $BO = OD$. 2. **Середины отрезков:** * $A_1$ — середина $OA$, $B_1$ — середина $OB$, $C_1$ — середина $OC$, $D_1$ — середина $OD$. 3. **Средние линии в треугольниках:** * Рассмотрим треугольник $AOB$. Отрезок $A_1B_1$ — средняя линия этого треугольника, так как соединяет середины сторон $OA$ и $OB$. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит, $A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$. * Аналогично, в треугольнике $COD$ отрезок $C_1D_1$ — средняя линия, и $C_1D_1 \parallel CD$ и $C_1D_1 = \frac{1}{2}CD$. 4. **Параллельность и равенство сторон:** * Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$ и $AB = CD$. Из этого следует, что $A_1B_1 \parallel C_1D_1$ и $A_1B_1 = C_1D_1$. 5. **Аналогичные рассуждения для других сторон:** * Рассмотрим треугольник $BOC$. Отрезок $B_1C_1$ — средняя линия, и $B_1C_1 \parallel BC$ и $B_1C_1 = \frac{1}{2}BC$. * В треугольнике $DOA$ отрезок $D_1A_1$ — средняя линия, и $D_1A_1 \parallel AD$ и $D_1A_1 = \frac{1}{2}AD$. * Так как $BC \parallel AD$ и $BC = AD$, то $B_1C_1 \parallel D_1A_1$ и $B_1C_1 = D_1A_1$. 6. **Вывод:** * В четырёхугольнике $A_1B_1C_1D_1$ противоположные стороны попарно параллельны и равны, что является признаком параллелограмма. Следовательно, $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм. Надеюсь, это объяснение поможет тебе понять решение!