Какое наибольшее количество дорог может быть в Северной Лимонии?

Эта задача про графы и их свойства. Давай разберемся, как её решить. Представь, что у тебя есть несколько городов (больше 4-х), и некоторые из них соединены бесплатными дорогами. Компания хочет сделать почти все дороги платными, но так, чтобы между любыми двумя городами можно было проехать по платным дорогам. Однако, как бы они ни выбирали дороги для оплаты, всегда найдутся два города, между которыми нельзя проехать бесплатно. Чтобы понять, какое наибольшее количество бесплатных дорог может быть, нужно рассмотреть случай, когда бесплатные дороги образуют структуру, близкую к дереву (то есть нет циклов). Если есть цикл, то можно сделать одну из дорог цикла платной, и всё равно останется бесплатный путь между любыми двумя городами в цикле. Наибольшее количество бесплатных дорог будет, если они образуют структуру "звезды". Это когда один город соединен со всеми остальными, а между остальными городами дорог нет. Если у нас $n$ городов, то в "звезде" будет $n-1$ дорога. Но по условию, если мы сделаем платными $n-1$ дорогу, всегда найдутся два города, между которыми нельзя проехать по бесплатным дорогам. Это значит, что структура "звезды" не подходит, так как после оплаты всех дорог, кроме одной, останется бесплатный проезд между центральным городом и одним из остальных. Рассмотрим случай, когда есть две "звезды", соединенные одной дорогой. Пусть есть два центральных города, каждый из которых соединен с несколькими другими. Тогда максимальное количество дорог будет достигнуто, если мы минимизируем количество дорог между этими двумя "звездами". Пусть у нас есть города $A, B, C, D, ...$. Соединим $A$ с $B, C, D$, и соединим $B$ с $E$. Тогда дороги $AB, AC, AD, BE$ - бесплатные. Всего 4 дороги. Если $n > 4$, то можно проверить, что при любой оплате $n-1$ дороги всегда найдутся два города, между которыми нельзя проехать по бесплатным дорогам. Таким образом, ответ: **$2n - 4$**.