1. Давай посчитаем: $(2 - i) \cdot (3 + 2i) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 2i - i \cdot 3 - i \cdot 2i = 6 + 4i - 3i - 2i^2 = 6 + i - 2 \cdot (-1) = 6 + i + 2 = 8 + i$.
**Ответ:** $8 + i$
2. Интеграл $\int e^x \cdot (2x - 1) dx$ можно решить интегрированием по частям. Пусть $u = 2x - 1$ и $dv = e^x dx$, тогда $du = 2 dx$ и $v = e^x$. Используем формулу интегрирования по частям: $\int u dv = uv - \int v du$.
Тогда: $\int e^x (2x - 1) dx = (2x - 1)e^x - \int e^x \cdot 2 dx = (2x - 1)e^x - 2e^x + C = 2xe^x - e^x - 2e^x + C = 2xe^x - 3e^x + C = e^x(2x - 3) + C$.
**Ответ:** $e^x(2x - 3) + C$
3. Недостаточно данных для точного решения. Нужно указать пределы интегрирования.
4. Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = \cos x$ и $x = 0$, сначала найдем точку пересечения $y = \sin x$ и $y = \cos x$:
$\sin x = \cos x$. Это происходит, когда $x = \frac{\pi}{4}$.
Теперь можно вычислить площадь как интеграл:
$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.
**Ответ:** $\sqrt{2} - 1$
5. Решим дифференциальное уравнение $y' - y \cdot tgx = \frac{1}{\cos x}$. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Сначала найдем интегрирующий фактор: $\mu(x) = e^{\int -tgx dx} = e^{-\int \frac{\sin x}{\cos x} dx} = e^{\ln |\cos x|} = \cos x$.
Умножим обе части уравнения на интегрирующий фактор: $y' \cos x - y \sin x = 1$.
Заметим, что левая часть — это производная произведения $y \cos x$: $(y \cos x)' = 1$.
Теперь интегрируем обе части по $x$: $\int (y \cos x)' dx = \int 1 dx$, что дает $y \cos x = x + C$.
Выразим $y$: $y = \frac{x + C}{\cos x}$.
**Ответ:** $y = \frac{x + C}{\cos x}$
6. Найдем частное решение дифференциального уравнения $2y' = \frac{x^2}{y}$. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: $2y dy = x^2 dx$.
Интегрируем обе части: $\int 2y dy = \int x^2 dx$, что дает $y^2 = \frac{x^3}{3} + C$.
Используем начальные условия $y(1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $y'(1) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим $x = 1$ и $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ в общее решение: $(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1^3}{3} + C$, то есть $\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + C$. Значит, $C = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
Итак, $y^2 = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{6}$. Выразим $y$: $y = \pm \sqrt{\frac{x^3}{3} + \frac{1}{6}}$. Так как $y'(1) < 0$, выбираем знак минус: $y = -\sqrt{\frac{x^3}{3} + \frac{1}{6}}$.
**Ответ:** $y = -\sqrt{\frac{x^3}{3} + \frac{1}{6}}$
7. Напишем форму частного решения неоднородного уравнения $y'' + 5y' + 6y = e^{2x}$. Сначала рассмотрим однородное уравнение: $y'' + 5y' + 6y = 0$. Характеристическое уравнение: $k^2 + 5k + 6 = 0$. Решаем: $(k + 2)(k + 3) = 0$, корни $k_1 = -2$ и $k_2 = -3$. Общее решение однородного уравнения: $y_{об} = C_1e^{-2x} + C_2e^{-3x}$.
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде $y_{частное} = Ae^{2x}$. Найдем производные: $y' = 2Ae^{2x}$ и $y'' = 4Ae^{2x}$. Подставим в исходное уравнение: $4Ae^{2x} + 5(2Ae^{2x}) + 6Ae^{2x} = e^{2x}$. Тогда $4A + 10A + 6A = 1$, $20A = 1$, $A = \frac{1}{20}$.
Частное решение: $y_{частное} = \frac{1}{20}e^{2x}$.
**Ответ:** $y_{частное} = \frac{1}{20}e^{2x}$
8. Вычислим криволинейный интеграл $\int_L (x^2 - 2xy) dx + (y^2 - 2xy) dy$, где $L$ — дуга параболы $y = x^2$ от точки $A(0;0)$ до точки $B(1;1)$. Подставим $y = x^2$ и $dy = 2x dx$ в интеграл:
$\int_L (x^2 - 2x^3) dx + (x^4 - 2x^3) 2x dx = \int_0^1 (x^2 - 2x^3 + 2x^5 - 4x^4) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \frac{4x^5}{5}]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{4}{5} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - \frac{4}{5} = \frac{20 - 15 - 24}{30} = -\frac{19}{30}$.
**Ответ:** $- \frac{19}{30}$
9. Вычислим двойной интеграл $\iint_D (4x - 3y) dxdy$ по области, ограниченной линиями $x = 0$, $y = 2$, $y = x$. Пределы интегрирования: $0 \le x \le 2$ и $x \le y \le 2$.
$\iint_D (4x - 3y) dxdy = \int_0^2 \int_x^2 (4x - 3y) dy dx = \int_0^2 [4xy - \frac{3}{2}y^2]_x^2 dx = \int_0^2 [(8x - 6) - (4x^2 - \frac{3}{2}x^2)] dx = \int_0^2 (8x - 6 - \frac{5}{2}x^2) dx = [4x^2 - 6x - \frac{5}{6}x^3]_0^2 = 16 - 12 - \frac{5}{6} \cdot 8 = 4 - \frac{20}{3} = \frac{12 - 20}{3} = -\frac{8}{3}$.
**Ответ:** $- \frac{8}{3}$
10. Вычислим тройной интеграл $\iiint_V x^2y^2z dxdydz$, где $1 \le x \le 3$, $0 \le y \le 2$, $2 \le z \le 5$.
$\iiint_V x^2y^2z dxdydz = \int_1^3 \int_0^2 \int_2^5 x^2y^2z dz dy dx = \int_1^3 x^2 dx \cdot \int_0^2 y^2 dy \cdot \int_2^5 z dz = [\frac{x^3}{3}]_1^3 \cdot [\frac{y^3}{3}]_0^2 \cdot [\frac{z^2}{2}]_2^5 = (\frac{27}{3} - \frac{1}{3}) \cdot (\frac{8}{3} - 0) \cdot (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) = \frac{26}{3} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{21}{2} = \frac{26 \cdot 8 \cdot 21}{3 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{26 \cdot 4 \cdot 7}{3} = \frac{728}{3}$.
**Ответ:** $\frac{728}{3}$
