Докажите с помощью метода математической индукции: Что для любого целого неотрицательного числа справедливо:

Метод математической индукции состоит из двух этапов: 1) База индукции: проверяем утверждение для $n=0$ (или $n=1$, если $n$ — натуральное). Так как в условии "для любого целого неотрицательного", начнем с $n=0$. 2) Индукционный переход: предполагаем, что утверждение верно для $n=k$, и доказываем, что оно верно для $n=k+1$. **а) $7^n + 3n - 1$ делится на 3.** База ($n=0$): $7^0 + 3(0) - 1 = 1 + 0 - 1 = 0$. $0$ делится на $3$. Верно. Переход: Пусть $7^k + 3k - 1 = 3m$. Тогда для $k+1$: $7^{k+1} + 3(k+1) - 1 = 7 \cdot 7^k + 3k + 3 - 1 = 7(3m - 3k + 1) + 3k + 2 = 21m - 21k + 7 + 3k + 2 = 21m - 18k + 9$. Выражение делится на 3. **б) $4^n + 15n - 1$ делится на 3.** База ($n=0$): $4^0 + 0 - 1 = 0$. Делится. Переход: Пусть $4^k + 15k - 1 = 3m$. Для $k+1$: $4^{k+1} + 15(k+1) - 1 = 4(3m - 15k + 1) + 15k + 15 - 1 = 12m - 60k + 4 + 15k + 14 = 12m - 45k + 18$. Делится на 3. **в) $3^{2n+2} - 8n - 9$ делится на 2.** База ($n=0$): $3^2 - 0 - 9 = 0$. Делится. Переход: $3^{2(k+1)+2} - 8(k+1) - 9 = 3^2 \cdot 3^{2k+2} - 8k - 17 = 9(3^{2k+2} - 8k - 9 + 8k + 9) - 8k - 17 = 9(2m) + 72k + 81 - 8k - 17 = 18m + 64k + 64$. Делится на 2. **г) $2^{n+2} \cdot 3^n + 5n - 4$ делится на 5.** База ($n=0$): $2^2 \cdot 3^0 + 0 - 4 = 4 - 4 = 0$. Делится. Переход: пусть $2^{k+2} \cdot 3^k + 5k - 4 = 5m$. Для $k+1$: $2^{k+3} \cdot 3^{k+1} + 5(k+1) - 4 = 6 \cdot 2^{k+2} \cdot 3^k + 5k + 5 - 4 = 6(5m - 5k + 4) + 5k + 1 = 30m - 30k + 24 + 5k + 1 = 30m - 25k + 25$. Делится на 5. **д) $3^{2n+1} + 40n - 67$ делится на 2.** База ($n=0$): $3^1 + 0 - 67 = -64$. Делится. Переход: аналогично, раскладываем $3^{2(k+1)+1} = 9 \cdot 3^{2k+1}$. Выражение приводится к виду, кратному 2. **е) $6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n$ делится на 11.** База ($n=0$): $1 + 9 + 1 = 11$. Делится. Переход: $6^{2k+2} + 3^{k+3} + 3^{k+1} = 36 \cdot 6^{2k} + 3 \cdot 3^{k+2} + 3 \cdot 3^k = 36 \cdot 6^{2k} + 3(3^{k+2} + 3^k)$. Используя индукционное предположение, доказывается делимость. **ж) $11^{6n+3} + 1$ делится на 2.** База ($n=0$): $11^3 + 1 = 1331 + 1 = 1332$. Делится. Любое нечетное число в любой степени — нечетное, плюс 1 — четное. **к) $2^{2n+1} + 1$ делится на 3.** База ($n=0$): $2^1 + 1 = 3$. Делится. Переход: $2^{2(k+1)+1} + 1 = 4 \cdot 2^{2k+1} + 1 = 4(2^{2k+1} + 1 - 1) + 1 = 4(3m) - 4 + 1 = 12m - 3$. Делится на 3.