Помоги решить задачи по математике: 1) Площадь прямоугольника равна 240 дм², а ширина — на 8 дм меньше длины. Найди длину и ширину этого прямоугольника.

Конечно, давай решим эти задачи вместе! 1) Пусть длина прямоугольника будет $x$ дм, тогда ширина будет $(x - 8)$ дм. Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины, поэтому можем составить уравнение: $x(x - 8) = 240$. Решим это уравнение: $x^2 - 8x - 240 = 0$. Квадратное уравнение можно решить через дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 * 1 * (-240) = 64 + 960 = 1024$. $x_1 = (8 + \sqrt{1024}) / 2 = (8 + 32) / 2 = 40 / 2 = 20$. $x_2 = (8 - \sqrt{1024}) / 2 = (8 - 32) / 2 = -24 / 2 = -12$ (не подходит, так как длина не может быть отрицательной). Итак, длина равна 20 дм, тогда ширина равна $20 - 8 = 12$ дм. **Ответ: длина 20 дм, ширина 12 дм.** 2) Пусть сторона квадрата равна $x$ см. После увеличения и уменьшения сторон, получили прямоугольник со сторонами $(x + 9)$ см и $(x / 5)$ см. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон: $2 * ((x + 9) + (x / 5)) = 66$. Решим уравнение: $x + 9 + x / 5 = 33$ $5x + 45 + x = 165$ $6x = 120$ $x = 20$. **Ответ: длина стороны квадрата равна 20 см.** 3) Пусть ширина участка земли равна $x$ м, тогда длина равна $4x$ м. Площадь участка равна $4x^2$. После изменений, длина стала $(4x + 2)$ м, а ширина $(x - 5)$ м. Новая площадь равна $(4x + 2)(x - 5)$, и она уменьшилась на 190 м². Составим уравнение: $4x^2 - (4x + 2)(x - 5) = 190$ $4x^2 - (4x^2 - 20x + 2x - 10) = 190$ $4x^2 - 4x^2 + 18x + 10 = 190$ $18x = 180$ $x = 10$. Ширина равна 10 м, тогда длина равна $4 * 10 = 40$ м. **Ответ: размеры участка 40 м в длину и 10 м в ширину.** 4) Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см, тогда большая сторона равна $(x + 10)$ см. После увеличения сторон, меньшая сторона стала $(x + 15)$ см, а большая $(x + 30)$ см. Площадь увеличилась в 5 раз. Составим уравнение: $(x + 15)(x + 30) = 5x(x + 10)$ $x^2 + 45x + 450 = 5x^2 + 50x$ $4x^2 + 5x - 450 = 0$ Решим квадратное уравнение: $D = 5^2 - 4 * 4 * (-450) = 25 + 7200 = 7225$ $x_1 = (-5 + \sqrt{7225}) / 8 = (-5 + 85) / 8 = 80 / 8 = 10$ $x_2 = (-5 - \sqrt{7225}) / 8 = (-5 - 85) / 8 = -90 / 8 = -11.25$ (не подходит, так как длина не может быть отрицательной). Меньшая сторона равна 10 см, тогда ширина равна 10 см. **Ответ: ширина прямоугольника равна 10 см.**