Ты просишь меня решить несколько задач по математике: найти комплексно сопряженное и противоположное число для z=-3+5i, выполнить действия с комплексными числами, решить уравнение x²+2x + 6 = 0 и другие задания.

Конечно, помогу! Давай решим по шагам: **Задание 1:** Комплексно сопряженное число к $z = -3 + 5i$ — это число с противоположным знаком мнимой части. Значит, $\overline{z} = -3 - 5i$. Противоположное число к $z = -3 + 5i$ — это число с противоположными знаками обеих частей. Значит, $-z = 3 - 5i$. **Ответ:** $\overline{z} = -3 - 5i$, $-z = 3 - 5i$ **Задание 2:** Чтобы выполнить действия с комплексными числами, сначала умножим числитель, а затем разделим на знаменатель: $$(2 - i) \cdot (5 + 3i) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 3i - i \cdot 5 - i \cdot 3i = 10 + 6i - 5i - 3i^2 = 10 + i + 3 = 13 + i$$ Теперь разделим полученное число на знаменатель $1 - 2i$. Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю, то есть на $1 + 2i$: $$\frac{13 + i}{1 - 2i} = \frac{(13 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{13 + 26i + i + 2i^2}{1 + 4} = \frac{13 + 27i - 2}{5} = \frac{11 + 27i}{5} = \frac{11}{5} + \frac{27}{5}i$$ **Ответ:** $\frac{11}{5} + \frac{27}{5}i$ **Задание 3:** Решим квадратное уравнение $x^2 + 2x + 6 = 0$ через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$$ Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-20}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{5}}{2} = -1 \pm i\sqrt{5}$$ **Ответ:** $x_1 = -1 + i\sqrt{5}$, $x_2 = -1 - i\sqrt{5}$ **Задание 4:** Тут нужно перевести комплексное число $z_2 = 1 - \sqrt{3}i$ в тригонометрическую форму. Для начала найдем модуль числа: $$r = |z_2| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$ Теперь найдем аргумент $\varphi$: $$\tan(\varphi) = \frac{-\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$$ Так как число лежит в IV четверти, то $\varphi = -\frac{\pi}{3}$. Тогда тригонометрическая форма числа $z_2$: $$z_2 = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$$ **Ответ:** $z_2 = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$ **Задание 5:** Возведем комплексное число $\left[\sqrt{2} \cdot \left(\cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6}\right)\right]^4$ в степень, используя формулу Муавра: $$\left[\sqrt{2} \cdot \left(\cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6}\right)\right]^4 = (\sqrt{2})^4 \cdot \left(\cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) = 4 \cdot \left(\cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}\right)$$ Теперь переведем в алгебраическую форму: $$4 \cdot \left(\cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2 + 2i\sqrt{3}$$ **Ответ:** $-2 + 2i\sqrt{3}$ **Задание 6:** Решим уравнение $(2 + i) \cdot z = 4 + i$ относительно $z$: $$z = \frac{4 + i}{2 + i}$$ Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю, то есть на $2 - i$: $$z = \frac{(4 + i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{8 - 4i + 2i - i^2}{4 + 1} = \frac{8 - 2i + 1}{5} = \frac{9 - 2i}{5} = \frac{9}{5} - \frac{2}{5}i$$ **Ответ:** $z = \frac{9}{5} - \frac{2}{5}i$