Объясни, как доказать, что каждое из следующих уравнений является уравнением сферы и найти координаты центра и радиус этой сферы: а) x² - 4x + y² + z² = 0

Конечно, я помогу тебе разобраться с этими уравнениями сфер! Давай по порядку рассмотрим каждое уравнение и определим координаты центра и радиус сферы. Общий вид уравнения сферы: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$ где $(a, b, c)$ — координаты центра сферы, а $R$ — её радиус. а) $x^2 - 4x + y^2 + z^2 = 0$ Чтобы привести это уравнение к общему виду, нужно выделить полный квадрат по $x$. Для этого добавим и вычтем $(4/2)^2 = 4$: $$x^2 - 4x + 4 - 4 + y^2 + z^2 = 0$$ $$(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 4$$ Теперь видно, что центр сферы находится в точке $(2, 0, 0)$, а радиус $R = \sqrt{4} = 2$. б) $x^2 + y^2 - 2y + z^2 = 24$ Здесь нужно выделить полный квадрат по $y$. Добавим и вычтем $(2/2)^2 = 1$: $$x^2 + y^2 - 2y + 1 - 1 + z^2 = 24$$ $$x^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 25$$ Центр сферы находится в точке $(0, 1, 0)$, а радиус $R = \sqrt{25} = 5$. в) $x^2 + 2x + y^2 + z^2 = 3$ Выделяем полный квадрат по $x$. Добавим и вычтем $(2/2)^2 = 1$: $$x^2 + 2x + 1 - 1 + y^2 + z^2 = 3$$ $$(x + 1)^2 + y^2 + z^2 = 4$$ Центр сферы находится в точке $(-1, 0, 0)$, а радиус $R = \sqrt{4} = 2$. г) $x^2 - x + y^2 + 3y + z^2 - 2z = 2.5$ Выделяем полные квадраты по $x$, $y$ и $z$. Добавим и вычтем $(1/2)^2 = 0.25$ для $x$, $(3/2)^2 = 2.25$ для $y$ и $(2/2)^2 = 1$ для $z$: $$x^2 - x + 0.25 - 0.25 + y^2 + 3y + 2.25 - 2.25 + z^2 - 2z + 1 - 1 = 2.5$$ $$(x - 0.5)^2 + (y + 1.5)^2 + (z - 1)^2 = 2.5 + 0.25 + 2.25 + 1$$ $$(x - 0.5)^2 + (y + 1.5)^2 + (z - 1)^2 = 6$$ Центр сферы находится в точке $(0.5, -1.5, 1)$, а радиус $R = \sqrt{6}$. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как определять координаты центра и радиус сферы по уравнению!