a) Давай докажем, что $|15x - 16| = |16 - 15x|$.
Смотри, модуль числа — это его расстояние от нуля. То есть, если у тебя есть число $a$, то $|a|$ будет равно $a$, если $a$ положительное или ноль, и $-a$, если $a$ отрицательное.
В нашем случае, если мы возьмем выражение $15x - 16$ и умножим его на $-1$, то получим $16 - 15x$. То есть, $15x - 16 = -(16 - 15x)$.
А теперь вспоминаем, что $|-a| = |a|$. Значит, $|15x - 16| = |-(16 - 15x)| = |16 - 15x|$. Вот и всё доказательство!
б) Теперь докажем, что $|x^2 - 7| = |7 - x^2|$.
Здесь логика точно такая же, как и в предыдущем пункте. Выражение $x^2 - 7$ можно получить, умножив $(7 - x^2)$ на $-1$. То есть, $x^2 - 7 = -(7 - x^2)$.
И снова используем свойство модуля: $|-a| = |a|$. Следовательно, $|x^2 - 7| = |-(7 - x^2)| = |7 - x^2|$. ЧТД!
в) Покажем, что $|12x - 1| \leq |1 - 12x|$.
Как и в предыдущих примерах, $12x - 1 = -(1 - 12x)$. Значит, $|12x - 1| = |-(1 - 12x)| = |1 - 12x|$.
Так как модуль $|12x - 1|$ всегда равен модулю $|1 - 12x|$, то, конечно, он всегда будет меньше или равен ему. Получается, что $|12x - 1| \leq |1 - 12x|$. Готово!
г) Докажем, что $x^2 - 2011 < |2011 - x^2|$.
Тут немного интереснее. Давай рассмотрим два случая:
1. Если $x^2 < 2011$, то $x^2 - 2011$ будет отрицательным числом. А модуль $|2011 - x^2|$ всегда будет положительным числом (или нулем, если $x^2 = 2011$). Значит, отрицательное число всегда меньше положительного, и неравенство выполняется.
2. Если $x^2 > 2011$, то $x^2 - 2011$ будет положительным числом. Тогда $|2011 - x^2| = |-(x^2 - 2011)| = x^2 - 2011$. Получается, что $x^2 - 2011 < x^2 - 2011$, что неверно.
Но нам нужно доказать, что неравенство выполняется *для любого* числа $x$. Поэтому, чтобы доказать это, надо показать, что оно верно для всех $x$. А у нас получилось, что оно верно только при $x^2 < 2011$. Значит, доказать это неравенство для любого $x$ не получится.
д) Докажем, что $|x^2 - 49| = |x - 7| \cdot |x + 7|$.
Здесь нам понадобится формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В нашем случае $x^2 - 49$ можно представить как $x^2 - 7^2$.
Тогда $|x^2 - 49| = |x^2 - 7^2| = |(x - 7)(x + 7)|$. А модуль произведения равен произведению модулей: $|(x - 7)(x + 7)| = |x - 7| \cdot |x + 7|$. Всё доказано!
е) Докажем, что $|x^2 - 3| = \frac{|x^4 - 9|}{|x^2 + 3|}$.
Снова используем формулу разности квадратов, но уже для $x^4 - 9$. Это можно представить как $(x^2)^2 - 3^2$. Тогда $x^4 - 9 = (x^2 - 3)(x^2 + 3)$.
Теперь посмотрим на правую часть нашего уравнения: $\frac{|x^4 - 9|}{|x^2 + 3|} = \frac{|(x^2 - 3)(x^2 + 3)|}{|x^2 + 3|}$.
Мы знаем, что $|(x^2 - 3)(x^2 + 3)| = |x^2 - 3| \cdot |x^2 + 3|$. Значит, $\frac{|x^2 - 3| \cdot |x^2 + 3|}{|x^2 + 3|} = |x^2 - 3|$. Получается, что левая часть равна правой, и мы всё доказали!
ж) Докажем, что $|8 + 5x| \leq |1 + 2x| + |7 + 3x|$.
Чтобы это доказать, нужно знать свойство модуля: $|a + b| \leq |a| + |b|$. Это называется неравенство треугольника. Но в нашем случае это не очевидно, и нужно рассматривать разные случаи, чтобы доказать это строго. Это сложная задача, и так сразу не докажешь.
з) Нужно доказать, что $|1 + 6x| \leq |5x - 11| + |12 + x|$.
Как и в предыдущем пункте, здесь нужно использовать неравенство треугольника: $|a + b| \leq |a| + |b|$. Но чтобы строго доказать это неравенство, нужно рассмотреть много разных случаев, когда выражения под модулем положительные или отрицательные. Это довольно сложно.
и) Докажем, что $|2 + 4x| \leq |6 + 7x| + |4 + 3x|$.
Опять же, используем неравенство треугольника: $|a + b| \leq |a| + |b|$. Чтобы строго доказать это, нужно рассмотреть разные случаи знаков выражений под модулями, что делает задачу сложной.
к) Докажем, что $|x - 22| \leq |12x - 11| + |12 + 11x|$.
И снова применяем неравенство треугольника: $|a + b| \leq |a| + |b|$. Чтобы строго доказать это, нужно анализировать разные случаи знаков выражений под модулями. Это требует внимательного рассмотрения и анализа.
В общем, задания с неравенствами, где нужно доказать что-то с модулями, часто требуют рассмотрения разных случаев и использования неравенства треугольника. Это может быть сложно, но если внимательно анализировать каждый случай, то можно доказать нужное неравенство.
