Можешь помочь найти все корни уравнения cos2x = -1/2 на отрезке [-π/2; 5π/2] и найти все корни уравнения cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}, удовлетворяющие неравенству |x| < \frac{\pi}{4}?

Конечно, давай решим эти уравнения вместе! 1. **Уравнение cos(2x) = -1/2 на отрезке [-π/2; 5π/2]** * Сначала найдем общее решение уравнения cos(2x) = -1/2. Мы знаем, что косинус равен -1/2 в точках 2π/3 и 4π/3 (или -2π/3, если идти в другую сторону). * Значит, 2x = ±2π/3 + 2πk, где k - целое число. Чтобы найти x, разделим обе части на 2: $$x = ±\frac{\pi}{3} + \pi k$$ * Теперь нам нужно найти значения x, которые попадают в отрезок [-π/2; 5π/2]. Давай переберем несколько значений k: * k = 0: x = π/3 и x = -π/3 (оба подходят) * k = 1: x = π/3 + π = 4π/3 и x = -π/3 + π = 2π/3 (оба подходят) * k = 2: x = π/3 + 2π = 7π/3 и x = -π/3 + 2π = 5π/3 (подходит только 5π/3, так как 7π/3 > 5π/2) * k = -1: x = π/3 - π = -2π/3 и x = -π/3 - π = -4π/3 (подходит только -2π/3, так как -4π/3 < -π/2) * Итак, корни уравнения на заданном отрезке: -2π/3, -π/3, π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3 **Ответ: -2π/3, -π/3, π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3** 2. **Уравнение cos(4x) = √2/2, удовлетворяющие неравенству |x| < π/4** * Сначала решим уравнение cos(4x) = √2/2. Мы знаем, что косинус равен √2/2 в точках π/4 и -π/4. * Значит, 4x = ±π/4 + 2πk, где k - целое число. Чтобы найти x, разделим обе части на 4: $$x = ±\frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{2} k$$ * Теперь посмотрим, какие значения x удовлетворяют неравенству |x| < π/4. Это значит, что -π/4 < x < π/4. * Давай переберем несколько значений k: * k = 0: x = π/16 и x = -π/16 (оба подходят, так как -π/4 < -π/16 < π/16 < π/4) * k = 1: x = π/16 + π/2 = 9π/16 и x = -π/16 + π/2 = 7π/16 (оба не подходят, так как больше π/4) * k = -1: x = π/16 - π/2 = -7π/16 и x = -π/16 - π/2 = -9π/16 (оба не подходят, так как меньше -π/4) * Итак, корни уравнения, удовлетворяющие неравенству: -π/16, π/16 **Ответ: -π/16, π/16**