Реши уравнение (2x-3)² = (1-2x)²

№9. Решим уравнение $(2x-3)^2 = (1-2x)^2$. Раскроем скобки, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $4x^2 - 12x + 9 = 1 - 4x + 4x^2$ Перенесем все члены в левую часть: $4x^2 - 12x + 9 - 1 + 4x - 4x^2 = 0$ Приведем подобные члены: $-8x + 8 = 0$ Перенесем 8 в правую часть: $-8x = -8$ Разделим обе части на -8: $x = 1$ **Ответ: x = 1** №10. Сократим дробь $\frac{x^3 - 2x^2 - 16x + 32}{(x-2)(x-4)}$. Сначала разложим числитель на множители. Сгруппируем члены: $x^3 - 2x^2 - 16x + 32 = (x^3 - 2x^2) + (-16x + 32)$ Вынесем общий множитель из каждой группы: $x^2(x - 2) - 16(x - 2)$ Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$: $(x - 2)(x^2 - 16)$ Разложим $(x^2 - 16)$ как разность квадратов: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$. Получаем: $(x - 2)(x - 4)(x + 4)$. Теперь сократим дробь: $\frac{(x - 2)(x - 4)(x + 4)}{(x - 2)(x - 4)} = x + 4$ **Ответ: x + 4** №11. Решим неравенство $\frac{x^2}{3} < \frac{3x + 3}{4}$. Умножим обе части на 12, чтобы избавиться от дробей: $12 \cdot \frac{x^2}{3} < 12 \cdot \frac{3x + 3}{4}$ $4x^2 < 3(3x + 3)$ $4x^2 < 9x + 9$ Перенесем все члены в левую часть: $4x^2 - 9x - 9 < 0$ Найдем корни квадратного уравнения $4x^2 - 9x - 9 = 0$. Используем формулу для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. $x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9)}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 144}}{8} = \frac{9 \pm \sqrt{225}}{8} = \frac{9 \pm 15}{8}$ $x_1 = \frac{9 + 15}{8} = \frac{24}{8} = 3$ $x_2 = \frac{9 - 15}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$ Теперь определим интервалы, где неравенство $4x^2 - 9x - 9 < 0$ выполняется. Парабола $4x^2 - 9x - 9$ направлена вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями. **Ответ: $-\frac{3}{4} < x < 3$** №12. Решим систему неравенств: $\begin{cases} \frac{24 - 3x}{8 + (5 - 2x)^2} \geq 0 \\ 22 - 9x \leq 43 - 2x \end{cases}$ Рассмотрим первое неравенство: $\frac{24 - 3x}{8 + (5 - 2x)^2} \geq 0$. Знаменатель всегда положителен, так как $(5 - 2x)^2 \geq 0$, поэтому $8 + (5 - 2x)^2 > 0$. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя: $24 - 3x \geq 0$ $3x \leq 24$ $x \leq 8$ Рассмотрим второе неравенство: $22 - 9x \leq 43 - 2x$ $-9x + 2x \leq 43 - 22$ $-7x \leq 21$ $x \geq -3$ Объединим решения двух неравенств: $-3 \leq x \leq 8$ **Ответ: $-3 \leq x \leq 8$** №13. Решим уравнение $x^3 - 5x^2 - 6x = 0$. Вынесем x за скобки: $x(x^2 - 5x - 6) = 0$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. $x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2}$ $x_1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$ $x_2 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ Итак, корни уравнения: $x = 0, x = 6, x = -1$. **Ответ: x = 0, x = 6, x = -1** №14. Решим неравенство $(3x - 2)(x + 4) > -11$. Раскроем скобки: $3x^2 + 12x - 2x - 8 > -11$ $3x^2 + 10x - 8 > -11$ Перенесем -11 в левую часть: $3x^2 + 10x + 3 > 0$ Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$. $x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-10 \pm 8}{6}$ $x_1 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ $x_2 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$ Определим интервалы, где неравенство $3x^2 + 10x + 3 > 0$ выполняется. Парабола $3x^2 + 10x + 3$ направлена вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней. **Ответ: $x < -3$ или $x > -\frac{1}{3}$** №15. Решим систему уравнений: $\begin{cases} (2x + 4)^2 = 3y \\ (4x + 2)^2 = 3y \end{cases}$ Так как обе части равны $3y$, можем приравнять их: $(2x + 4)^2 = (4x + 2)^2$ $4x^2 + 16x + 16 = 16x^2 + 16x + 4$ $0 = 12x^2 - 12$ $12x^2 = 12$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$ Если $x = 1$, то $(2(1) + 4)^2 = 3y$, $(6)^2 = 3y$, $36 = 3y$, $y = 12$. Если $x = -1$, то $(2(-1) + 4)^2 = 3y$, $(2)^2 = 3y$, $4 = 3y$, $y = \frac{4}{3}$. **Ответ: $x = 1, y = 12$ или $x = -1, y = \frac{4}{3}$** №16. Решим систему уравнений: $\begin{cases} (5x + 3)^2 = 8y \\ (3x + 5)^2 = 8y \end{cases}$ Так как обе части равны $8y$, можем приравнять их: $(5x + 3)^2 = (3x + 5)^2$ $25x^2 + 30x + 9 = 9x^2 + 30x + 25$ $16x^2 - 16 = 0$ $16x^2 = 16$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$ Если $x = 1$, то $(5(1) + 3)^2 = 8y$, $(8)^2 = 8y$, $64 = 8y$, $y = 8$. Если $x = -1$, то $(5(-1) + 3)^2 = 8y$, $(-2)^2 = 8y$, $4 = 8y$, $y = \frac{1}{2}$. **Ответ: $x = 1, y = 8$ или $x = -1, y = \frac{1}{2}$** №17. Решим неравенство $(\sqrt{19} - 4.5)(5 - 3x) > 0$. Сначала определим знак выражения $(\sqrt{19} - 4.5)$. $\sqrt{19} \approx 4.36$. Следовательно, $(\sqrt{19} - 4.5) < 0$. Чтобы произведение было положительным, необходимо, чтобы $(5 - 3x) < 0$. $5 - 3x < 0$ $-3x < -5$ $3x > 5$ $x > \frac{5}{3}$ **Ответ: $x > \frac{5}{3}$** №18. Найдем значение выражения $\frac{p(a)}{p(6-a)}$, если $p(a) = \frac{a(6-a)}{a-3}$. Сначала найдем $p(6-a)$: $p(6-a) = \frac{(6-a)(6 - (6-a))}{(6-a) - 3} = \frac{(6-a)(6 - 6 + a)}{6 - a - 3} = \frac{(6-a)(a)}{3 - a}$ Теперь найдем $\frac{p(a)}{p(6-a)}$: $\frac{p(a)}{p(6-a)} = \frac{\frac{a(6-a)}{a-3}}{\frac{(6-a)(a)}{3 - a}} = \frac{a(6-a)}{a-3} \cdot \frac{3 - a}{(6-a)(a)} = \frac{3 - a}{a - 3} = -1$ **Ответ: -1**