Найди sin α и tg α, если cos α = 1/2

a) Дано: $\cos \alpha = \frac{1}{2}$. Найдём $\sin \alpha$: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Подставим известное значение косинуса: $\sin^2 \alpha + (\frac{1}{2})^2 = 1$. $\sin^2 \alpha + \frac{1}{4} = 1$ $\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. $\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Т.к. не указан диапазон, то два решения. Теперь найдем $\tan \alpha$: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \pm \sqrt{3}$. б) Дано: $\cos \alpha = \frac{2}{3}$. Найдём $\sin \alpha$: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Подставим известное значение косинуса: $\sin^2 \alpha + (\frac{2}{3})^2 = 1$. $\sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1$ $\sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$. $\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$. Теперь найдем $\tan \alpha$: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm \frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$. в) Дано: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем $\cos \alpha$: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$. $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$. Теперь найдем $\tan \alpha$: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\pm \frac{1}{2}} = \pm \sqrt{3}$. г) Дано: $\sin \alpha = \frac{1}{4}$. Найдем $\cos \alpha$: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$. $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$. Теперь найдем $\tan \alpha$: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{4}}{\pm \frac{\sqrt{15}}{4}} = \pm \frac{1}{\sqrt{15}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{15}$. **Ответ:** a) $\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\tan \alpha = \pm \sqrt{3}$. б) $\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ и $\tan \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$. в) $\cos \alpha = \pm \frac{1}{2}$ и $\tan \alpha = \pm \sqrt{3}$. г) $\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$ и $\tan \alpha = \pm \frac{\sqrt{15}}{15}$.