Можешь помочь решить задачи 3-5, 6-11?

3. Углы \(\alpha\) и \(\beta\) смежные, \(\cos \alpha = -\frac{1}{6}\) 1) Найдем \(\cos \beta\). Смежные углы в сумме дают 180 градусов, то есть \(\alpha + \beta = 180^\circ\). Значит, \(\beta = 180^\circ - \alpha\). \(\cos \beta = \cos (180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\) \(\cos \beta = -\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6}\) 2) Определим, какой из углов \(\alpha\) и \(\beta\) является острым, а какой — тупым. \(\cos \alpha = -\frac{1}{6}\) (отрицательный). Косинус отрицательный во II и III четвертях. Значит, угол \(\alpha\) тупой (больше 90 градусов). \(\cos \beta = \frac{1}{6}\) (положительный). Косинус положительный в I и IV четвертях. Значит, угол \(\beta\) острый (меньше 90 градусов). 4. Найдем значение выражения: 1) \(2\sin 90^\circ + 3\cos 0^\circ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5\) 2) \(3\sin 0^\circ - 5\cos 180^\circ = 3 \cdot 0 - 5 \cdot (-1) = 0 + 5 = 5\) 3) \(\operatorname{tg} 23^\circ \cdot \operatorname{tg} 0^\circ \cdot \operatorname{tg} 106^\circ = \operatorname{tg} 23^\circ \cdot 0 \cdot \operatorname{tg} 106^\circ = 0\) 4) \(6 \operatorname{ctg} 180^\circ + 5 \sin 180^\circ + \operatorname{ctg} 90^\circ\) — не существует, т.к. котангенс 180 градусов не определён. 5) \(\cos^2 165^\circ + \sin^2 165^\circ = 1\) (основное тригонометрическое тождество) 6) \(\frac{\sin 0^\circ + \sin 90^\circ}{\cos 0^\circ - \cos 90^\circ} = \frac{0 + 1}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1\) 5. Вычислите: 1) \(4 \cos 90^\circ + 2 \cos 180^\circ - \operatorname{ctg} 90^\circ = 4 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) - 0 = 0 - 2 - 0 = -2\) 2) \(\cos 0^\circ - \cos 180^\circ + \sin 90^\circ = 1 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3\) 6. Чему равен синус угла, если его косинус равен: 1) 1; 2) 0? Чему равен тангенс угла, если его котангенс равен: 1) 1; 2) \(-\frac{1}{3}\)? 1) Если \(\cos \alpha = 1\), то \(\alpha = 0^\circ\), значит, \(\sin \alpha = \sin 0^\circ = 0\). 2) Если \(\cos \alpha = 0\), то \(\alpha = 90^\circ\), значит, \(\sin \alpha = \sin 90^\circ = 1\). 1) Если \(\operatorname{ctg} \alpha = 1\), то \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{1}{1} = 1\). 2) Если \(\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{1}{3}\), то \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3\). 7. Чему равен косинус угла, если его синус равен: 1) 1; 2) 0? Чему равен котангенс угла, если его тангенс равен: 1) -1; 2) 3? 1) Если \(\sin \alpha = 1\), то \(\alpha = 90^\circ\), значит, \(\cos \alpha = \cos 90^\circ = 0\). 2) Если \(\sin \alpha = 0\), то \(\alpha = 0^\circ\), значит, \(\cos \alpha = \cos 0^\circ = 1\). 1) Если \(\operatorname{tg} \alpha = -1\), то \(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{-1} = -1\). 2) Если \(\operatorname{tg} \alpha = 3\), то \(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{3}\). 8. Найдите \(\sin 135^\circ\), \(\cos 135^\circ\), \(\operatorname{tg} 135^\circ\), \(\operatorname{ctg} 135^\circ\). \(\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\cos 135^\circ = \cos (180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\operatorname{tg} 135^\circ = \frac{\sin 135^\circ}{\cos 135^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1\) \(\operatorname{ctg} 135^\circ = \frac{1}{\operatorname{tg} 135^\circ} = \frac{1}{-1} = -1\) 9. Найдите \(\sin 150^\circ\), \(\cos 150^\circ\), \(\operatorname{tg} 150^\circ\), \(\operatorname{ctg} 150^\circ\). \(\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) \(\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\operatorname{tg} 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(\operatorname{ctg} 150^\circ = \frac{1}{\operatorname{tg} 150^\circ} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{3}} = -\sqrt{3}\) 10. Существует ли угол \(\alpha\), для которого: 1) \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\)? — Да, существует. Например, \(\alpha = 30^\circ\). 2) \(\sin \alpha = 0,3\)? — Да, существует, так как значение синуса находится в пределах от -1 до 1. 3) \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{5}\)? — Да, существует, так как значение косинуса находится в пределах от -1 до 1. 4) \(\cos \alpha = -0,99\)? — Да, существует, так как значение косинуса находится в пределах от -1 до 1. 5) \(\cos \alpha = 1,001\)? — Нет, не существует, так как значение косинуса должно быть в пределах от -1 до 1. 6) \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}\)? — Нет, не существует, так как \(\frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1,118 > 1\), а значение синуса должно быть в пределах от -1 до 1. 11. Найдите: 1) \(\cos \alpha\), если \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) и \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\). Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\) \(\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}\) Так как \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), косинус положительный, поэтому \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\). 2) \(\cos \alpha\), если \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) и \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\) \(\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\) Так как \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\), косинус отрицательный, поэтому \(\cos \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\). 3) \(\cos \alpha\), если \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4}\). \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}\) \(\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{13}{16}} = \pm \frac{\sqrt{13}}{4}\) 4) \(\sin \alpha\), если \(\cos \alpha = -0,8\). \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36\) \(\sin \alpha = \pm \sqrt{0,36} = \pm 0,6\) 5) \(\operatorname{tg} \alpha\), если \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\) и \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). Сначала найдем \(\cos \alpha\): \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\) \(\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}\) Так как \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\), косинус отрицательный, поэтому \(\cos \alpha = -\frac{3}{5}\). Теперь найдем тангенс: \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}\)