11. Чтобы найти допустимые значения переменной в выражении, нужно исключить те значения, при которых знаменатель дроби равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
а) $x^2 - 8x + 9$ – здесь нет дроби, поэтому $x$ может быть любым числом.
б) $\frac{1}{6x-3}$ – нужно, чтобы $6x - 3 \neq 0$. Решим уравнение $6x - 3 = 0$. Тогда $6x = 3$, и $x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Значит, $x$ может быть любым числом, кроме $\frac{1}{2}$.
в) $\frac{3x-6}{7}$ – здесь знаменатель равен 7, и он никогда не будет равен 0. Значит, $x$ может быть любым числом.
д) $\frac{x-5}{x^2 + 25} - 3x$ – нужно, чтобы $x^2 + 25 \neq 0$. Но $x^2$ всегда больше или равен 0, поэтому $x^2 + 25$ всегда больше 0. Значит, $x$ может быть любым числом.
г) $\frac{x^2 - 8}{4x(x+1)}$ – нужно, чтобы $4x(x+1) \neq 0$. Это значит, что $x \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Значит, $x$ может быть любым числом, кроме 0 и -1.
е) $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x}$ – нужно, чтобы $x+8 \neq 0$ и $x \neq 0$. Это значит, что $x \neq -8$ и $x \neq 0$. Значит, $x$ может быть любым числом, кроме -8 и 0.
12. Аналогично предыдущему заданию:
a) $\frac{5y-8}{11}$ – $y$ может быть любым числом.
б) $\frac{25}{y-9}$ – $y \neq 9$.
в) $\frac{y^2 + 1}{y^2 - 2y}$ – $y^2 - 2y \neq 0$. Вынесем $y$ за скобки: $y(y-2) \neq 0$. Значит, $y \neq 0$ и $y \neq 2$.
г) $\frac{y-10}{y^2 + 3}$ – $y^2 + 3$ всегда больше 0, так что $y$ может быть любым числом.
д) $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$ – $y-6 \neq 0$ и $y+6 \neq 0$. Значит, $y \neq 6$ и $y \neq -6$.
е) $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$ – $y \neq 0$ и $y+7 \neq 0$. Значит, $y \neq 0$ и $y \neq -7$.
13. Область определения функции – это все значения $x$, при которых функция имеет смысл.
a) $y = \frac{1}{x-2}$ – $x \neq 2$.
б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$ – $x \neq 0$ и $x \neq -1$.
в) $y = x + \frac{1}{x+5}$ – $x \neq -5$.
14. Чтобы дробь $\frac{x-3}{5}$ была равна нулю, нужно, чтобы числитель был равен нулю: $x - 3 = 0$. Значит, $x = 3$. **Ответ: г) 3**
15. Чтобы дробь была равна нулю, нужно, чтобы числитель был равен нулю:
a) $\frac{y-5}{8}$ – $y - 5 = 0$, значит, $y = 5$.
б) $\frac{2y+3}{10}$ – $2y + 3 = 0$, значит, $2y = -3$, и $y = -\frac{3}{2} = -1,5$.
в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$ – $x(x-1) = 0$, значит, $x = 0$ или $x = 1$.
г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$ – $x(x+3) = 0$, значит, $x = 0$ или $x = -3$.
16. Снова ищем, когда числитель равен нулю:
a) $\frac{m+4}{6}$ – $m + 4 = 0$, значит, $m = -4$.
б) $\frac{7-5n}{11}$ – $7 - 5n = 0$, значит, $5n = 7$, и $n = \frac{7}{5} = 1,4$.
в) $\frac{b^2 - b}{b+2}$ – $b^2 - b = 0$. Вынесем $b$ за скобки: $b(b-1) = 0$. Значит, $b = 0$ или $b = 1$.
г) $\frac{y^2 - 25}{3y-1}$ – $y^2 - 25 = 0$, значит, $y^2 = 25$, и $y = 5$ или $y = -5$.
17. Если $a > 0$ и $b > 0$, то дробь $\frac{a}{b}$ положительна, так как положительное число, деленное на положительное число, дает положительное число. Если $a < 0$ и $b < 0$, то дробь $\frac{a}{b}$ тоже положительна, так как отрицательное число, деленное на отрицательное число, тоже дает положительное число.
